Béke, Természet, Szeretet




            JELÖLÉSEK, RÖVIDíTÉSEK

Jelölés   jelentés

=       egyenlő
<       kisebb
>       nagyobb
<<      sokkal kisebb
>>      sokkal nagyobb
eleme   eleme
\ré     valódi része
\ré=    része
\       halmazok esetén különbség
unió    unió
metszet metszet
\ne     negáció (tagadás)
sum     szumma, összegzés
\pro    produktum, szorzat
!       faktoriális
Int     integrál
_aint^b(f(x))dx   a-tól integrál b-ig f(x) dx
||      párhuzamos
~       hasonló
==      egybevágó
=~      közelítő érték
/=      nem egyenlő
lim     limesz, határérték
lim x,a (f(x))    limesz x tart a-hoz f(x)
lim x,& (f(x))    limesz x tart végtelenhez f(x)
\exp    exponenciális
ln(x)   természetes alapú logaritmus x
lg(x)   tízes alapú logaritmus x
^a log(x)     a alapú logaritmus x
|a|     az a szám abszolút értéke
|A|     az A halmaz elemeinek száma
[a]     az a szám egészrésze
(a;b)   az a és b legnagyobb közös osztója
[a;b]   az a és b legkisebb közös többszöröse
[a;b]   zárt intervallum
]a;b[   nyílt intervallum
gyök(x) gyök x
^ngyök(x) n-edik gyök x
a^n     a az n-ediken
*       szorzás jele
/       törtvonal
avek     a vektor
{n k}   n alatt a k
a_n     sorozat n-edik eleme (alsó index)
(avek;bvek)     a és b vektorok hajlásszöge
(a_k)vek     az a vektorok közül a k-adik
(AB)vek     az A pontból a B pontba mutató vektor
[N]     a természetes számok halmaza
[N^+]   a pozitív természetes számok halmaza
[Z]     az egész számok halmaza
[Q]     a racionális számok halmaza
[Q^*]   az irracionális számok halmaza
[R]     a valós számok halmaza



            MATEMATIKA


    Nevezetes szögek szögfüggvényei (táblázatba rendezve)
     0 fok   30 fok   45 fok   60 fok   90 fok   180 fok   270 fok   360 fok
sin   0       1/2    gyök(2)/2 gyök(3)/2    1        0        -1         0
cos   1    gyök(3)/2 gyök(2)/2    1/2       0       -1         0         1
tg    0    gyök(3)/3    1      gyök(3)      -        0         -         0
ctg   -    gyök(3)      1      gyök(3)/3    0        -         0         -



    Pitagorasz-féle számhármasok c<100 (táblázatba rendezve)
a;b;c;
3;4;5
5;12;13
7;24;25
8;15;17
9;40;41
11;60;61
12;35;37
13;84;85
16;63;65
20;21;29
28;45;53
33;56;65
36;77;85
39;80;89
48;55;73
65;72;97
(a; b; c relatív prímek)


    A 2-,3-,és 5-tel nem osztható számok
törzstényezős felbontása
7         11          13          17          19
23        29          31          37          41
43        47          49=7^2      53          59
61        67          71          73          77=7*11
79        83          89          91=7*13     97
101       103         107         109         113
119=7*17  121=11^2    127         131         133=7*19
137       139         143=11*13   149         151
157       161=7*23    163         167         169=13^2
173       179         181         187=11*17   191
193       197         199         203=7*29    209=11*19
211       217=7*31    221=13*17   223         227
229       233         239         241         247=13*19
251       253=11*23   257         259=7*37    263
269       271         277         281         283
287=7*41  289=17^2    293         299=13*23   301=7*43
307       311         313         317         319=11*29
323=17*19 329=7*47    331         337         341=11*31
343=7^3   347         349         353         359
361=19^2  367         371=7*53    373         377=13*29
379       383         389         391=17*23   397
401       403=13*31   407=11*37   409         413=7*59
419       421         427=7*61    431         433
437=19*23 439         443         449         451=11*41
457       461         463         467         469=7*67
473=11*43 479         481=13*37   487         491
493=17*29 497=7*71    499         503         509
511=7*73  517=11*47   521         523         527=17*31
529=23^2  533=13*41   539=7^2*11  541         547
551=19*29 553=7*79    557         559=13*43   563
569       571         577         581=7*83    583=11*53
587       589=19*31   593         599         601
607       611=13*47   613         617         619
623=7*89  629=17*37   631         637=7^2*13  641
643       647         649=11*59   653         659
661       667=23*29   671=11*61   673         677
679=7*97  683         689=13*53   691         697=17*41
701       703=19*37   707=7*101   709         713=23*31
719       721=7*103   727         731=17*43   733  
737=11*67 739         743         749=7*107   751
757       761         763=7*109   767=13*59   769
773       779=19*41   781=11*71   787         791=7*113
793=13*61 797         799=17*47   803=11*73   809
811       817=19*43   821         823         827
829       833=7^2*17  839         841=29^2    847=7*11^2
851=23*37 853         857         859         863
869=11*79 871=13*67   877         881         883
887       889=7*127   893=19*47   899=29*31   901=17*53
907       911         913=11*83   917=7*131   919
923=13*71 929         931=7^2*19  937         941
943=23*41 947         949=13*73   953         959=7*137
961=31^2  967         971         973=7*139   977
979=11*89 983         989=23*43   991         997


    ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

    Hatványozás
a^n*a^k = a^(n + k)
a^n/a^k = a^(n - k)
(a^n)^k = a^(n*k)
a^n*b^n = (a*b)^n
a^n/b^n = (a/b)^n

a^n - b^n = (a - b)*(a^(n - 1)+a^(n - 2)*b +
  + a^(n-3)*b^2+...+a*b^(n - 2)+b^(n - 1))

a^(2*k+1) + b^(2*k+1) = (a+b)*(a^(2*k) - a^(2*k-1)*b +
  + a^(2*k-2)*b^2 -...+- b^(2*k))

a^(2*k) - b^(2*k) = (a+b)*(a^(2*k - 1) - a^(2*k - 2)*b +
  + a^(2*k - 3)*b^2 -...+- b^(2*k-1))

    Kéttagúak hatványai (binomiális tétel; n pozitív egész)
(a+b)^2=a^2 + 2*a*b + b^2
(a-b)^2=a^2 - 2*a*b + b^2
(a+b)^3=a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
(a - b)^3 = a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3
(a+b)^n ={n 0}*a^n+{n 1}*a^(n - 1)*b + {n 2}*a^(n 2)*b^2 + ...+{n (n-1)}*a*b^(n - 1) + {n n}*b^n

    Gyökvonás azonosságai
^ngyök(a)*^kgyök(a) = ^(n*k)gyök(n + k)
^ngyök(a)/^kgyök(a) = ^(n*k)gyök(k - n)
(^kgyök(a))^n = ^kgyök(a^n) = a^(n/k)
^kgyök(^ngyök(a)) = ^ngyök(^kgyök(a)) = ^(n*k)gyök(a)
^ngyök(a)*^ngyök(b) = ^ngyök(a*b)
^ngyök(a)/^ngyök(b) = ^ngyök(a/b)

    Logaritmus azonosságai
^alog(x*y) = ^alog(x) + ^alog(y)
^alog(x/y) = ^alog(x) -  ^alog(y)
^alog(x^n) = n* ^alog(x)
^alog(^ngyök(x)) = (1/n)* ^alog(x)
^alog(a) = 1
^alog(1) = 0
^alog(b)* ^blog(a) = 1
^blog(x) = (^alog(x))/(^alog(b))


    Binomiális együtthatók
{n k} = (n!)/(k!*(n - k)!) = (n*(n - 1)*(n - 2)*...*(n - k + 1))/(1*2*3*...*k)
{n 0} = 1
{n n} = 1
{n k} = {n (n - k)}
{(n + 1) (k + 1)} = {n k} + {n (k + 1)}


    Sorozatok

    Középértékek
Számtani A = (a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n)/n
Súlyozott A' = (g_1*a_1 + g_2*a_2 + g_3*a_3+...+g_n*a_n)/(g_1+g_2+g_3+...+g_n)
Geometriai G = ^ngyök(a_1*a_2*a_3*...*a_n)
Harmonikus H = n/(1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 + ...+1/a_n)
Négyzetes Q = gyök((a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ...+a_n^2)/n)

Speciális sorozatok

    Számtani (aritmetikai) sorozat
a_n = (a_(n + i) + a_(n - i))/2
a_n = a_1+(n - 1)*d
a_n = a_(n - 1) + d
S_n = n*(a_1 + a_n)/2 = n*(2*a_1 + (n - 1)*d)/2

    Mértani (geometriai) sorozat, mértani sor
|a_n| = gyök(a_(n + i)*a_(n - i))
a_n = a_(n - 1)*q
a_n = a_1*q^(n - 1)
S_n = a_1*(q^n - 1)/(q - 1)
lim n,& s_n= a_1/(1 - q) , ha |q|<1

    Négyzetszámok összege
S_n = n*(n + 1)*(2*n + 1)/6
Kamatos kamat-, járadékszámítás
p%-os kamatláb esetén, n év (időszak) alatt
A kamatos kamatokkal felnövekedett érték:
k_n = k_0*(1 + p/100)^n
Az a járadék felnövekedett értéke:
S_n = 100*a/p*((1 + p/100)^n - 1)
A t kölcsön törlesztéséhez szükséges évi részlet (annuitás):
A = t*(1 + p/100)^n*(p/100)/((1 + p/100)^n - 1)


    Algebrai kifejezések, egyismeretlenes algebrai egyenletek

    Elsőfokú egyenlet
a*x + b = 0 (a nem = 0)
Gyöke: x = -b/a

    Másodfokú egyenlet
a*x^2 + b*x + c = 0 (a nem = 0)
Gyökei: x_(1;2) = (-b +- gyök(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
Ha x^2 + p*x + q = 0 akkor
x_(1;2) = - p/2 +- gyök((p/2)^2 - 4*q)

    A gyökök és együtthatók összefüggései (Vieté formulák):
x_1 + x_2 = - b/a = - p
x_1 * x_2 =   c/a =   q


    Kombinatorika

    Permutáció
Ismétlés nélküli permutációk száma:
P_n = n!
Ismétléses permutációk száma:
P_n ^(n_1, n_2, n_3,..., n_k) = n!/(n_1!*n_2!*n_3!*...*n_k!)
Ahol n_1 + n_2 + n_3 + ...+n_k = n

    Kombináció
Ismétlés nélküli kombinációk száma:
C_n ^k = {n k} = n!/(k!*(n - k)!)
Ismétléses kombinációk száma:
C_n ^k(ism) = {(n + k - 1) k} = (n + k - 1)!/(k!*(n - 1)!)

    Variáció
Ismétlés nélküli variációk száma:
V_n ^k = n*(n - 1)*(n - 2)*...*(n - k + 1) = n!/(n - k)!
Ismétléses variációk száma:
V_n ^k(ism) = n^k


    VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Eseményalgebra
Valószínűségszámítási jelölések
I = biztos esemény
0 = lehetetlen esemény
A^_ = az A esemény ellentettje
A + B = az A és B esemény összege
A*B = az A és B esemény szorzata

Valószínűségszámítási jelölések
Valószínűségszámítás műveleti azonosságai
I= biztos esemény
O= lehetetlen esemény
A>_= az A esemény ellentettje
A+B = az A és B esemény összege
A*B = az A és B esemény szorzata
A^_ _ = A
0^_ = I
A + 0 = A
A + I = I
A + A = A
A + A^_ = I
A + A = B + A
(A + B)^_ = A^_*B^_
(A + B) + C = A + (B + C)
A + B*C = (A + B)*(A + C)
I^_ = 0
A*I = A
A*0 = 0
A*A = A
A*A^_ = 0
A*B= B*A
(A*B)^_ = A^_ + B^_
(A*B)*C = A*(B*C)
A*(B + C) = A*B + A*C

A valószínűség kiszámítása
P(0) = 0
P(I) = 1

    Összetett események valószínűsége
P(A^_) = 1 - P(A)
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A/B)
P(A*B) = P(A)*P(B/A) = P(B)*P(A/B)
P(A*B) = P(A)*P(B), ha A és B függetlenek


    MŰVELETEK HALMAZOKKAL

    Halmazműveleti jelölések
0/ = az üres halmaz
B \ré A = a B halmaz A-nak részhalmaza
A unió B = A és B egyesítése
A metszet B = A és B metszete
A \ B = A és B különbség-halmaza
A^_|H = A-nak H-beli komplementere
x eleme A = x eleme A halmaznak

    Halmazműveleti azonosságok
(A,B,C részhalmazai H-nak és A^_,B^_,C^_ a H-beli komplementerük.)
A^_ _ = A
0/ \ré_ H
H^_ = 0/
A unió 0/ = A
A metszet H = A
A unió H = H
A metszet 0/ = 0/
A unió A = A
A metszet A = A
A unió A^_ = H
A metszet A^_ = 0/
A unió B = B unió A
A metszet B = B metszet A
(A unió B)^_ = A^_ metszet B^_
(A metszet B)^_ = A^_ unió B^_
(A unió B) unió C = A unió (B unió C)
(A metszet B) metszet C = A metszet (B metszet C)
A unió (B metszet C) = (A unió B) metszet (A unió C)
A metszet (B unió C) = (A metszet B) unió (A metszet C)


    LOGIKAI MŰVELETEK

Logikai műveletek jelölései
0 = a "hamis" logikai érték
1 = az "igaz" logikai érték
Nem(A) = az a negáltja, tagadása, ellentettje
A vagy B = A és B diszjunkciója
A és B = A és B konjunkciója

Logikai műveletek azonosságai
Nem(nem(A)) = A
Nem(0) = 1
Nem(1) = 0
A vagy 0 = A
A és 1 = A
A vagy 1 = 1
A és 0 = 0
A vagy A = A
A és A = A
A vagy nem(A) = 1
A és nem(A) = 0
A vagy B = B vagy A
A és B = B és A
Nem(A vagy B) = nem(A) és nem (B)
Nem(A és B) = nem(A) vagy nem (B)
(A vagy B) vagy C = A vagy (B vagy C)
(A és B) és C = A és (B és C)
A vagy (B és C) = (A vagy B) és (A vagy C)
A és (B vagy C) = (A és B) vagy (A és C)


    GEOMETRIA

    Mértékegységek
Hosszúság
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm = 10^6 mikrométer = 10^-3 km
Terület
1 m^2 = 100 dm^2 = 10^4 cm^2 = 10^6 mm^2
1 km^2 = 100 ha = 10^6 m^2
Térfogat
1 m^3 = 1000 dm^3 = 10^6 cm^3 = 10^9 mm^3
1 dm^3 = 1 liter = 10 dl =100 cl

    Euler egyenes
Az euler egyenes tartalmazza a háromszög körülírható
körének középpontját (O), a súlypontot (S) és a
magasságpontot (M) ilyen sorrendben, és OS/SM = 1/2.

    Sokszögek
Az érintőnégyszög két-két szemközti oldalának összege
egyenlő.  A húrnégyszög két-két szemközti szögének
összege egyenlő (180 fok).

    Thalész tétele: a sík azon pontjainak mértani
helye, amelyekből egy szakasz derékszögben látszik, az
a kör, melynek a szakasz az átmérője. (az átmérő két
végpontja nem tartozik a mértani helyhez!)

    Az n oldalú sokszög átlóinak száma: n*(n - 3)/2

    Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege:
(n - 2)*pí = (n - 2)*180 fok

    Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege:
2*pí = 360 fok

    Kerület- és területképletek

    Háromszög
K = a + b + c
T = a*m_a/2
T = gyök(s*(s - a)*(s - b)*(s - c)); 2*s = k
T = a* b*sin(gamma)/2 = a^2*sin(béta)*sin(gamma)/(2*sin(alfa))

    Négyszögek
Paralelogramma: T=a m_a = b*sin(alfa)
Trapéz        : T = (a + b)*m/2
Deltoid       : T = e*f /2
Húrnégyszög   : T = gyök(s*(s - a)*(s - b)*(s - c)*(s - d));  2*s = k
Kör           : K = 2*r*pí = d*pí, T = r^2*pí = d^2*pí/4
Ellipszis     : T = a*b*pí

    Felszín- és térfogatképletek

    Hasáb
A = P+2*T
V = T*m

    Gúla:  V =T*m/3
Csonkagúla: V=m/3*(T + gyök(T*t) + t)

    Tetraéder (a körülírt gömb sugara R, a beírt gömb sugara r)
A = gyök(3)*a^2
V = (gyök(2)/12)*a^3
R = (gyök(6)/4)*a
r =(1/3)*R

    Kocka (hexaéder)
A = 6*a^2
V = a^3
R = gyök(3)/2*a
r = 1/2*a

    Forgáshenger
A = 2*pí*r*(m + r)
V = pí*r^2*m
Egyenlő oldalú henger
A = 6*pí*r^2
V = 2*pí*r^3

    Forgáskúp
A = pí*r*(a + r)
V = pí*r^2*m/3
Egyenlő oldalú kúp
A = 3*pí*r^2
V = (gyök(3)*pí/3)*r^3
Csonkakúp
A = pí*(R^2 + r^2 + (R + r)*a)
V = pí/3*m(R^2 + r^2 + R*r)

    Gömb
A = 4* pí*r^2 = pí*d^2
V = 4*pí/3*r^3 = pí/6*d^3
Forgástest
V = pí* _a int ^b (f^2(x))dx = pí* _a int ^b f^2


    TRIGONOMETRIA

    Hegyesszögek szögfüggvényei
sin(alfa) = a/c
cos(alfa) = b/c
tg(alfa) = a/b
ctg(alfa) = b/a

    Forgásszögek szögfüggvényei

II. negyed
90 fok < x < 180 fok
sin(x) = sin(180 fok - x)
cos(x) = - cos(180 fok - x)
tg(x) = - tg(180 fok - x)
ctg(x) = - ctg(180 fok - x)

III. negyed
180 fok < x < 270 fok
sin(x) = - sin(x - 180 fok)
cos(x) = - cos(x - 180 fok)
tg(x) = tg(x - 180 fok)
ctg(x) = ctg(x - 180 fok)

IV. negyed
270 fok < x < 360 fok
sin(x) = - sin(360 fok - x)
cos(x) = cos(360 fok - x)
tg(x) = - tg(360 fok - x)
ctg(x) = - ctg(360 fok - x)

sin(x) = sin(x + k*360 fok)
cos(x) = cos(x + k*360 fok)
tg(x) = tg(x + k*180 fok)
ctg(x) = ctg(x + k*180 fok)
Ahol k = ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

    Összefüggések egy szög különböző szögfüggvényei között
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
tg(x) = sin(x)/cos(x)
ctg(x) = cos(x)/sin(x)
tg(x)*ctg(x) = 1
1 + tg^2(x) = 1/cos^2(x)
1 + ctg^2(x) = 1/sin^2(x)

    Összefüggések két szög szögfüggvényei között

Két szög összegének és különbségének szögfüggvényei
sin(x +- y) = sin(x)*cos(y) +- cos(x)*sin(y)
cos(x +- y) = cos(x)*cos(y) -+ sin(x)*sin(y)
tg(x +- y) = (tg(x) +- tg(y))/(1 +- tg(x)*tg(y))
ctg(x +- y) = (ctg(y)* ctg(x) -+ 1)/(ctg(y) +- ctg(x))

Két szögfüggvény összegének szorzattá alakítása
sin(x) + sin(y) = 2*sin((x + y)/2)*cos((x - y)/2)
sin(x + y) + sin(x - y) = 2*sin(x)*cos(y)
sin(x) - sin(y) = 2*cos((x + y)/2)*sin((x - y)/2)
sin(x + y) - sin(x - y) = 2*cos(x)*sin(y)
cos(x) + cos(y) = 2*cos((x + y)/2)*cos((x - y)/2)
cos(x + y) + cos(x - y) = 2*cos(x)*cos(y)
cos(x) - cos(y) = -2*sin((x + y)/2)*sin((x - y)/2)
cos(x + y) - cos(x - y) = -2*sin(x)*sin(y)
tg(x) +- tg(y) = sin(x +- y)/(cos(x)*cos(y))
ctg(x) +- ctg(y) = sin(x +- y)/(sin(x)*sin(y))

    Kétszeres és félszögek szögek szögfüggvényei

Kétszeres szögek
sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)
cos(2*x) = cos^2 (x) - sin^2 (x)
tg(2*x) = 2*tg(x)/(1 - tg^2 (x))
ctg(2*x) = (ctg^2 (x) - 1)/(2*ctg(x))

Félszögek (A két előjel közül az x nagyságának
megfelelő érvényes.)
sin(x/2) = +- gyök((1 - cos(x))/2)
sin^2(x) = (1 - cos(2*x))/2
cos(x/2) = +- gyök((1 + cos(x))/2)
cos^2(x) = (1 + cos(2*x))/2

tg(x/2) = +- gyök((1 - cos(x))/(1 + cos(x)) =
       = (1 - cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1 + cos(x))

ctg(x/2) = +- gyök((1 + cos(x))/(1 - cos(x)) =
        = (1 + cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1 - cos(x))

    Háromszögek megoldása
Derékszögű háromszög
a = c*sin(alfa) = b*tg(alfa)
b = c*cos(alfa) = a*ctg(alfa)
c = a*sin(alfa) + b*sin(béta)

    Pitagorasz tétele: c^2 = a^2 + b^2

    sinustétel
a ÷ b ÷ c = sin(alfa) ÷ sin(béta) ÷ sin(gamma)
a/b/c = sin(alfa)/sin(béta)/sin(gamma)

    cosinustétel: c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)

    tangenstétel (a - b)/(a + b) = (tg((x - y)/2))/(tg((x + y))/2)


    Vektorok

    Vektor műveletek
avek + bvek = bvek + avek
(avek + bvek) + cvek = avek + (bvek + cvek) = avek + bvek cvek
|avek + bvek| <= |avek| + |bvek|

Szorzás skalárral
bvek = lambda*avek; |bvek| = |lambda|*|avek|, bvek || avek
lambda*(avek + bvek) = lambda*avek + lambda*bvek
(lambda + mu)*avek = lambda*avek + mu*avek
lambda*(mu*avek) = mu*(lambda*avek) = (lambda*mu)*avek

Skaláris szorzat
avek*bvek = |avek|*|bvek|*cos (avek bvek)

Síkbeli vektorkoordináták: avek = avek(x;y), ha avek = x*ivek + y*jvek

Műveletek vektorkoordinátákkal
a_1vek +- a_2vek = (x_1 +- x_2)*ivek + (y_1 +- y_2)*jvek
lambda*avek = (lambda*x)*ivek + (lambda*y)*jvek
|avek| = gyök(x^2 + y^2)
avek*b_vek = a_1*b_1 + a_2*b_2
(skaláris szorzat koordinátákkal)


    KOORDINÁTAGEOMETRIA

    Két pont különbségvektora
dvek = (p_1p_2)vek = (x_2 - x_1)*ivek + (y_2 - y_1)*jvek

    Két pont távolsága
d = |dvek| = (p_1p_2)vek = gyök((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

    Adott arányban osztó pont koordinátái
x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)
y = (n*y_1 + m*y_2)/(m + n)

    Felezőpont koordinátái
x = (x_1 + x_2)/2
y = (y_1 + y_2)/2

    Pontrendszer súlypontja (egyenlő súlyozás esetén)
x_s = (x_1 + x_2 +...+x_n)/n
y_s = (y_1 + y_2 +...+y_n)/n

    Háromszög súlypontja
x = (x_1 + x_2 + x_3)/3
y = (y_1 + y_2 + y_3)/3

    Egyenes egyenlete

Iránytényezős
y = m*x + b, m = tg(alfa)
Ha alfa = 90 fok akkor x = a
rvek = r_0vek + vvek*t
x = x_0 + v_1*t
y = y_0 + v_2*t

Irányvektoros: v_2*x - v_1*y = v_2*x_0 - v_1*y_0

Normálvektoros: a*x + b*y = a*x_0 + b*y_0

    Kör egyenlete
x^2 + y^2 = r^2
(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2

    Ellipszis egyenlete: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

    Hiperbola egyenlete:  x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

    Parabola egyenlete:
y = 1/(2*p)*x^2
y = x^2/(2*p)
y^2 = 2*p*x


    FÜGGVÉNYTAN (ANALÍZIS)

    Határérték
lim c = c
lim (c*f) = c* lim f
lim (f +- g) = lim f +- lim g
lim (f*g) = lim f*lim g
lim (f/g) = lim f/lim g, ha lim g/= 0
lim (f÷g) = lim f ÷ lim g, ha lim g/= 0

    Deriváltfüggvény, differenciálhányados függvény
Az f(x) függvény deriváltja az a helyen
f'(a) = lim x,a (f(x) - f(a))/(x - a)

    Differenciálási szabályok
(c*f)' = c*f'
(f +- g)' = f' +- g'
(f*g)' = f'*g + f*g'
(f÷g)' = (f'*g - f*g')/g^2

    Néhány elemi függvény deriváltfüggvénye
c' = 0
(x^n)' = n*x^(n - 1)
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = - sin(x)
(tg(x))' = 1/cos^2 (x)
(ctg(x))' = - 1/sin^2 (x)
(e^x)' = e^x
(ln(x))' = 1/x

    Függvény menetének vizsgálata
Ha az f'(x) > 0 akkor az f(x) szigorúan monoton nő.
Ha az f'(x) < 0 akkor az f(x) szigorúan monoton csökken.
Ha az f'(x) = 0 és a deriváltfüggvény negatívból pozitívba ...
               megy át, akkor a függvénynek lokális minimuma van.
Ha az f'(x) = 0 és a deriváltfüggvény pozitívból negatívba ...
               megy át, akkor a függvénynek lokális maximuma van.

    Határozatlan integrál, primitív függvény
int(c*f) = c*int f
int(f +- g) = int f +- int g
_a int ^b f = - _b int ^a f
_a int ^b f = _a int ^c f + _c int ^b f
_a int ^b (c*f) = c*_a int ^b f
_a int ^b (f +- g) = _a int ^b f +- _a int ^b g
int x^n dx = x^(n + 1)/(n + 1) + C, n/= - 1
int sin(x) dx = - cos(x) + C
int cos(x) dx = sin(x) + C



    FIZIKA


    AZ SI ALAPEGYSÉGEI

1. Hosszúság   jele: l     mértékegysége: méter (m)
2. Tömeg       jele: m     mértékegysége: kilogramm (kg)
3. Idő         jele: t     mértékegysége: másodperc (s)
4. Áramerősség jele: I     mértékegysége: amper (A)
5. Hőmérséklet jele: T     mértékegysége: kelvin (K)
6. Fényerősség jele: I_v   mértékegysége: kandela (cd)
7. Anyagmennyiség jele: n  mértékegysége: mól (mol)

AZ SI KIEGÉSZÍTŐ EGYSÉGEI

8. Síkszög jele: alfa, béta, ... mértékegysége: radián (rad)
9. Térszög jele: Omega, omega, ... mértékegysége: szteradián (sr)

    AZ SI-ALAPEGYSÉGEK MEGHATÁROZÁSAI

    Méter (m)
A 86-os tömegszámú kripton atom 2p_10 és 5d_5
energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő, vákuumban
terjedő sugárzás hullámhosszának az
1640763,73-szorosa.

Újabb meghatározás: A vákuumban terjedő fény 1 s alatt
megtett útjának 1/299792458-ad része. (Közelítőleg a
Föld délkörének negyvenmilliomod része.)

    Kilogramm (kg)
A Párizsban őrzött etalon (platina-irídium henger)
tömege. (1 dm^3 vegytiszta H_2O (víz) tömege + 4 C fokon.)

    Másodperc (s)
A 133 tömegszámú, alapállapotú cézium atom két
hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő
sugárzás 9192631770 periódusának időtartama.
(Közelítőleg egy nap 86400-ad része.)

    Amper (A)
Annak az állandó áramnak az erőssége, amely két
párhuzamos, egyenes, végtelen hosszú, vékony és
vákuumban egymástól 1 méter távolságban áramolva e két
vezető között méterenként 2*10^-7 N erőt hoz létre.

    Kelvin (K)
A víz hármaspontja (ahol a víz három fázisa
termodinamikai egyensúlyban van) termodinamikai
hőmérsékletének 273,16-od része.

    Kandela (cd)
A fekete sugárzó 1/600000 m^2-nyi felületének a
fényerőssége a felületre merőleges irányban a platina
dermedési hőmérsékletén (2042,5 K) és 101325 Pa
nyomáson. (Körülbelül ennyi egy viaszgyertya
fényerőssége.)

    Mól (mol)
Az az anyagmennyiség, mely annyi elemi egységet
tartalmaz, ahány atom van 0,012 kg ^12C- ben.
(Körülbelül 6,022*10^23 részecske anyagmennyisége.)

    Radián (rad)
A kör sugarával egyenlő hosszúságú körívhez tartozó
középponti szög. (1 rad = 57,2958 fok.)

    Szteradián (sr)
A gömbsugár négyzetével egyenlő területű
gömbfelületrészhez tartozó középponti térszög.
(A teljes gömbfelület térszöge közelítőleg 12,3663 sr.)


    ÖNÁLLÓ NEVŰ SZÁRMAZTATOTT SI-EGYSÉGEK
frekvencia           mértékegysége: hertz    Hz    1/s
erő                  mértékegysége: newton   N     kg*m/s^2
nyomás               mértékegysége: pascal   Pa    N/m^2
munka, energia, hő   mértékegysége: joule    J     N*m
teljesítmény         mértékegysége: watt     W     J/s
elektromos töltés    mértékegysége: coulomb  C     A*s
elektromos feszültség mértékegysége: volt    V     W/A
kapacitás            mértékegysége: farad    F     C/V
ellenállás           mértékegysége: ohm    Omega   V/A
elektromos vezetés   mértékegysége: siemens  S     A/V
mágneses fluxus      mértékegysége: weber    Wb    V*s
induktivitás         mértékegysége: henry    H     V*s/A
mágneses indukció    mértékegysége: tesla    T     Wb/m^2
fényáram             mértékegysége: lumen    lm    cd*sr
megvilágítás         mértékegysége: lux      lx    lm/m^2
aktivitás            mértékegysége: becquerel Bq   1/s
elnyelt sugárdózis   mértékegysége: gray     Gy    J/kg


    SI-ELŐTÉTSZAVAK (PREFIXUMOK)

exa   jele: E   szorzó: 10^18
peta  jele: P   szorzó: 10^15
tera  jele: T   szorzó: 10^12
giga  jele: G   szorzó: 10^9
mega  jele: M   szorzó: 10^6
kilo  jele: k   szorzó: 10^3
hekto jele: h   szorzó: 10^2
deka  jele: da  szorzó: 10^1
deci  jele: d   szorzó: 10^-1
centi jele: c   szorzó: 10^-2
milli jele: m   szorzó: 10^-3
mikro jele: mű  szorzó: 10^-6
nano  jele: n   szorzó: 10^-9
piko  jele: p   szorzó: 10^-12
femto jele: f   szorzó: 10^-15
atto  jele: a   szorzó: 10^-18

    SI-N KÍVÜLI MÉRTÉKEGYSÉGEK

Korlátozás nélkül használhatók
ívfok        1 fok = pí/180 rad = 0,01745 rad
ívperc       1' = pí/10800 rad = 2, 908*10^-4 rad
ívmásodperc  1" = pí/648000 rad = 4,847* 10^-8 rad
liter        1 l = 1 dm^3
tonna        1 t = 1000 kg
perc         1 min = 60 s
óra          1 h = 3600 s
nap          1 d = 86400 s
km/h         1 km/h = 1/3,6 m/s
wattóra      1 W*h = 3600 J
celsius fok  1 C fok  = 1 K  (t = T - 273,15 K)

Csak a szakterületükön használhatók
fényév       1 fényév = 9,4605*10^12 km
parsec       1 parsec = 3,0857*10^13 km
hektár       1 ha = 10^4 m^2
dyn          1 dyn = 10^-5 N
bar          1 bar = 10^5 Pa
erg          1 erg = 10^-7 J
elektronvolt 1 eV = 1,6*10^-19 J
voltamper    1 VA = 1 W
franklin     1 Fr = 1/3*10^-9 C
gauss        1 G = 10^-4 T
maxwell      1 M = 10^-8 Wb
oersted      1 Oe =1000/(4*pí) A/m
decibel      1 dB = 20*log (p/p_0)

Már nem használhatók
angström     1A = 10^-10 m
mázsa        1 q = 100 kg
kilopond     1 kp = 9,81 N
torr         1 torr = 1 Hgmm = 133,322 Pa
(techn) at   1 at = 98066,5 Pa
(fiz) atm    1 atm = 760 torr = 101325 Pa
kalória      1 cal = 4,1868 J
méterkilopond 1 mkp = 9,81 J
lóerő        1 LE = 735,5 W


    TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK

    MECHANIKA

MECHANIKAI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

út         jele: s mértékegysége: m
sebesség   jele: v ; c   mértékegysége: m/s  
                v = s/t  
gyorsulás  jele: avek   mértékegysége: m/s^2
                avek = delta vvek/delta t
frekvencia jele: f ; nű   mértékegysége: Hz ; 1/s
                f = 1/T
sűrűség    jele: ró   mértékegysége: kg/m^3
                ró = m/V
tehetetlenségi nyomaték jele: Théta mértékegysége: kg*m^2
                             Théta = m*r^2
erő        jele: Fvek mértékegysége: N ; kg*m/s^2
                Fvek = delta (m*vvek)/delta t
súly       jele: Gvek mértékegysége: N ; kg*m/s^2
                Gvek = m * gvek
forgatónyomaték jele: Mvek   mértékegysége: N*m
                     Mvek = Fvek × kvek
mozgásmennyiség (lendület, impulzus) jele: Ivek mértékegysége: kg*m/ s
                                          Ivek = m*vvek
erőlökés   jele: pvek   mértékegysége: N*s
                pvek = Fvek*t pvek = m*delta vvek
perdület (impulzusnyomaték) jele:
                Nvek   mértékegysége: kg*m^2/s
                Nvek = sum(r_ivek × (m_i*v_ivek))
forgásmennyiség jele: Pí mértékegysége: kg*m^2/s
                     Pí = Théta*omega
forgatólökés jele: Nvek mértékegysége: N*m*s
                  Nvek = sum(Mvek*delta t)
nyomás       jele: p   mértékegysége: Pa ; N/m^2
                  p = F/A
merőleges (normális) feszültség jele: szigma
         mértékegysége: Pa ; N/m^2   szigma = F/A
fajlagos hosszváltozás jele: epszilon mértékegysége: -
                            epszilon = (delta l)/l
fajlagos térfogatváltozás jele: epszilon_V  
          mértékegysége: -     epszilon_V = (delta V)/V
rugalmassági (Young-) modulus jele:
                  E mértékegysége: Pa ; N/m^2  
                  E = |szigma/epszilon|
súrlódási tényező jele: mű mértékegysége: -
                       mű = F_súrlódási/F_nyomó
direkciós erő (rugóállandó) jele: D   mértékegysége: N/m
                                 D = F/l
felületi feszültség jele: gamma   mértékegysége: N/m
                         gamma = F/l
munka      jele: W mértékegysége: J ; kg*m^2/s^2
                W = sum(Fvek*delta svek)
energia    jele: E   mértékegysége: J; kg*m^2/s^2
teljesítmény jele: P   mértékegysége: W
                  P = W/t
hatásfok   jele: éta   mértékegysége: -
                éta = W_hasznos/W_összes

    KINEMATIKA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK

    Egyenes vonalú, egyenletes mozgás
s ~ t
v = állandó      
a = 0
s = v*t
v = s/t
t = s/v

    Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás
s ~ t^2
v ~ t
avek = állandó (v_0 a kezdősebesség;  v_t a
pillanatnyi sebesség)

Ha v_0 = 0
s = (a/2)*t^2
s = (v_t)^2/(2*a)
s = (v_t/2)*t
v_t = a*t
v_t = gyök(2*a*s)
v_t = 2*s/t
v_átlag = v_t/2
a = v_t/t
a = (v_t)^2/(2*s)
a = 2*s/t^2
t = v_t/a
t = gyök(2*s/a)
t = 2*s/v_t

Ha v_0 /= 0
s = v_0*t + (a/2)*t^2
s = (v_t^2 - v_0^2)/(2*a)
s = (v_t + v_0)/2*t
v_t = v_0 + a*t
v_t = gyök(v_0^2 + 2*a*s)
v_t = 2*s/t - v_0
v_átlag = (v_t + v_0)/2
a = (v_t - v_0)/t
a = (v_t^2 - v_0^2)/ (2*s)
a = 2*s/t^2 - 2*v_0/t
t = (v_t - v_0)/a
t = ( -v_0 + gyök(2*a*s + v_0^2))/a
t = 2*s/(v_0 + v_t)

    Szabadesés
v_0 = 0
avek = gvek
s = g/2*t^2
s = v_t^2/(2*g)
s = v_t/2*t
v_t = g*t
v_t = gyök(2*g*s)
v_t = 2*s/t
v_átlag = v_t/2
a = v_t/t
a = v_t^2/(2*s)
a = 2*s/t^2
t = v_t/g
t = gyök(2*s/g)
t = 2*s/v_t

    HAJÍTÁSOK

Hajítás függőlegesen lefelé (pozitív irány lefelé)
megtett út s = v_0*t + (g/2)*t^2 pillanatnyi sebesség v_t = v_0 + g*t
v_t = gyök(v_0^2 + 2*g*s)

Hajítás függőlegesen felfelé (pozitív irány felfelé)
elmozdulás s = v_0*t - g/2*t^2 pillanatnyi sebesség v_t = v_0 - g*t
v_t = gyök(v_0^2 - 2*g*s)
emelkedés ideje t = v_0/g
emelkedés magassága s_max = v_0^2/(2*g)

Hajítás vízszintesen (pozitív irány lefelé)
elmozdulás vízszintes komponense s_x = v_0*t
elmozdulás függőleges komponense s_y = g/2*t^2
a pálya egyenlete s_y = g/(2*v_0^2)*s_x^2
sebesség vízszintes komponense v_x = v_0 = állandó
sebesség függőleges komponensének pillanatnyi értéke
v_ty = g*t pillanatnyi sebesség v_t = gyök(v_x^2 + v_ty^2)
pillanatnyi sebesség iránya tg(alfa) = v_ty/v_x

Hajítás ferdén felfelé (pozitív irány felfelé)
(alfa: a kezdősebesség vektorának a vízszintes iránnyal bezárt szöge)
elmozdulás vízszintes komponense
s_x = v_0*t*cos(alfa)
elmozdulás függőleges komponense
s_y = v_0*t*sin(alfa) - g/2*t^2
elmozdulás
s = gyök(s_x^2 + s_y^2)

emelkedés maximális értéke
s_ymax = v_0^2*sin^2(alfa)/(2*g)

hajítás távolsága
s_xmax = v_0^2*sin(2*alfa)/g

pálya egyenlete
s_y = s_x*tg(alfa) - g/(2*v_0^2*cos^2(alfa))*s_x^2

sebesség vízszintes komponense
v_x = v_0*cos(alfa) = állandó

sebesség függőleges komponensének pillanatnyi értéke
v_ty = v_0*sin(alfa) - g*t
pillanatnyi sebesség
v_t = gyök(v_x^2 + v_ty^2)
pillanatnyi sebesség iránya
tg(alfa) = v_ty/v_x

emelkedés ideje
t = v_0*sin(alfa)/g

Hajítás ferdén lefelé
A hajítás ferdén felfelé összefüggései érvényesek, ha alfa < 0

    EGYENLETES KÖRMOZGÁS
fí ~ t
s ~ t
omega = állandó
v_k (kerületi sebesség) = állandó
béta (szöggyorsulás) = 0
a_t (tangenciális gyorsulás) = 0
A körpálya sugara   jele: r  mértékegysége: m
Az elfordulás szöge jele: fí   mértékegysége: rad
fí = omega*t
fí = s/r
fí = 2*pí/T*t
A körpályán megtett út   jele: s   mértékegysége: m
s = r*fí
s = v_k*t
s = 2*r*pí/T*t
s = 2*r*pí*f*t

Szögsebesség   jele: omega   mértékegysége: 1/s
omega = fí/t
omega = v_k/r
omega = 2*pí/T
omega = 2*pí*f

Kerületi sebesség nagysága   jele: v_k   mértékegysége: m/s
v_k = r*omega
v_k = s/t
v_k = 2*r*pí/T
v_k = 2*r*pí*f

Centripetális gyorsulás nagysága   jele: a_cp   mértékegysége: m/s^2
a_cp = r*omega^2
a_cp = v_k^2/r
a_cp = (2*pí/T)^2*r
a_cp = (2*pí*f)^2*r
A mozgás ideje   jele: t mértékegysége: s
t = fí/omega
t = s/v_k
t = s/(r*omega)

Fordulatszám   jele: f   mértékegysége: 1/s
f = 1/T
f = v_k/(2*r*pí)
f = omega/(2*pí)

A körülfordulás ideje (periódusidő)   jele: T mértékegysége: s
T = 1/f
T = 2*r*pí/v_k
T = 2*pí/omega
A körmozgást végző test tömege   jele: m mértékegysége: kg
A centripetális erő nagysága   jele: F_cp   mértékegysége: N
F_cp = m*a_cp
F_cp = m*v_k^2/r
F_cp = m*r*omega^2

    EGYENLETESEN VÁLTOZÓ KÖRMOZGÁS
fí ~ t^2
s ~ t^2
omega ~ t
v_k ~ t
béta = állandó
a_t = állandó
(omega_0 a kezdő szögsebesség; v_k0 a kezdő kerületi sebesség)
A körpálya sugara jele: r mértékegysége: m
Az elfordulás szöge jele: fí mértékegysége: rad
fí = omega_0*t + 1/2*béta*t^2
fí = v_k0/r*t + 1/2*a_t/r*t^2
Út a körpályán jele: s mértékegysége: m
s = v_k0*t + 1/2*a_t*t^2
s = omega_0*r*t + 1/2*béta*r*t^2

Pillanatnyi szögsebesség jele: omega_t mértékegysége: 1/s
omega_t = omega_0 + béta*t
Átlagos szögsebesség jele: omega_átl mértékegysége: 1/s
omega_átl = (omega_0 + omega_t)/2
Pillanatnyi kerületi sebesség   jele: v_kt mértékegysége: m/s
v_kt = v_k0 + a_t*t
v_kt = omega_0*r + béta*r*t
Átlagos kerületi sebesség jele: v_kátl mértékegysége: m/s
v_kátl = (v_k0 + v_kt)/2

Szöggyorsulás jele: béta mértékegysége: 1/s^2
béta = delta omega/delta t
béta = (omega_2 - omega_1)/t

Tangenciális gyorsulás   jele: a_t mértékegysége: m/s^2
a_t = delta v_k/delta t
a_t = (v_k2 - v_k1)/t
a_t = béta*r
a_t = (omega_2 - omega_1)/t*r

Centripetális gyorsulás jele: a_cp mértékegysége: m/s^2
a_cp = omega^2*r
a_cp = (béta*t)^2*r
a_cp = v_k^2/r
A kerületi és centripetális gyorsulások eredőjének nagysága
jele: a   mértékegysége: m/s^2
a = gyök(a_cp^2 + a_t^2)
a = gyök(v_k^4/(r^2) + a_t^2)
Az erők eredőjének tangenciális komponense
jele: F_t mértékegysége: N
F_t = m*a_t
F_t = m*béta*r
Az erők eredőjének centripetális komponense
jele: F_cp mértékegysége: N
F_cp = m*a_cp
F_cp = m*r*omega^2
F_cp = m*v_k^2/r
A kerületi és centripetális erők eredőjének nagysága
jele: F mértékegysége: N
F = gyök(F_t^2 + F_cp^2)
F = m*gyök(a_cp^2 + a_t^2)
F = m*gyök(v_k^4/(r^2) + a_t^2)


    EGYENLETES FORGÓMOZGÁS

fí ~ t
omega = állandó
béta (szöggyorsulás) = 0
Elfordulás szöge jele: fí mértékegysége: rad
fí = omega*t
fí = 2*pí/T*t

Szögsebesség jele: omega mértékegysége: 1/s
omega = 2*pí/T
omega = fí/t


    EGYENLETESEN VÁLTOZÓ FORGÓMOZGÁS

fí ~ t^2
omega ~ t
béta = állandó
(omega_0: kezdő szögsebesség)
Az elfordulás szöge jele: fí mértékegysége: rad
fí = omega_0*t + 1/2*béta*t^2

Pillanatnyi szögsebesség jele: omega_t mértékegysége: 1/s
omega_t = omega_0 + béta*t
Az átlagos szögsebesség jele: omega_átl mértékegysége: 1/s
omega_átl = (omega_0 + omega_t)/2

Szöggyorsulás jele: béta mértékegysége: 1/s^2
béta = delta omega/ delta t
béta = (omega_t - omega_0)/t
béta = 2*fí/t^2 - 2*omega_0/t

A szöggyorsulást létrehozó nyomaték jele: M mértékegysége: N*m
M = Théta*béta

    HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS

Kezdőfázis jele: fí_0 mértékegysége: rad
Amplitúdó (legnagyobb kitérés) jele: A mértékegysége: m
Frekvencia jele: f mértékegysége: Hz f = 1/T
Rezgésidő jele: T mértékegysége: s T = 1/f
Fázisszög   jele: fí mértékegysége: rad
fí = omega*t + fí_0

Kitérés jele: y mértékegysége: m
y = A*sin(omega*t + fí_0)
y = A*sin(2*pí/T*t + fí_0)
y = A*sin(2*pí*f*t + fí_0)

Pillanatnyi sebesség nagysága jele: v mértékegysége: m/s
v = A*omega*cos(omega*t + fí_0)
v = A*omega*cos(2*pí/T*t + fí_0)
v = A*omega*cos(2*pí*f*t + fí_0)

A sebesség maximális értéke   jele: v_max mértékegysége: m/s
v_max = A*omega

Pillanatnyi gyorsulás nagysága jele: a mértékegysége: m/s^2
a = - A*omega^2*sin(omega*t + fí_0)
a = - A*omega^2*sin(2*pí/T*t + fí_0)
a = - A*omega^2*sin(2*pí*f*t + fí_0)
a = - omega^2*y

A gyorsulás maximális értéke jele: a_max   mértékegysége: m/s^2
a_max = - A*omega^2
a_max = - A*4*pí^2*f^2

Rugó direkciós ereje (rugóállandó)   jele: D mértékegysége: N/m

A harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenlete
F = - D * y
F = - m * omega^2 * y
A rezgő test tömege jele: m mértékegysége: kg

Rezgésidő jele: T mértékegysége: s
T= 1/f
T = 2*pí*gyök(m/D)
T = 2*pí/omega
T = 2*pí*gyök(m*y/F)

Körfrekvencia jele: omega mértékegysége: 1/s
omega = 2*pí/T
omega = 2*pí*f
omega = gyök(D/m)

A rezgő test energiája jele: E_r mértékegysége: J
E_r = 1/2*D*y^2 + 1/2*m*v_y^2
E_r = 1/2*D*A^2
E_r = 2*pí^2*m*f^2*A^2
E_r = 1/2*m*v_max^2
E_r = 1/2*m*A^2*omega^2

Az y kitéréshez tartozó sebesség nagyság jele: v_y mértékegysége: m/s
v_y = gyök(D/m*(A^2 - y^2)


    MATEMATIKAI (FONÁL-) INGA

A fonál hossza jele: l mértékegysége: m

Lengésidő jele: T mértékegysége: s
T = 2*pí*gyök(l/g)
Szöggyorsulás jele: béta mértékegysége: 1/s^2
béta = g*sin(fí)/l
A gyorsulás tangenciális komponense jele: a_t mértékegysége: m/s^2
a_t = g*sin(fí)
A gyorsulás centripetális komponense jele: a_cp mértékegysége: m/s^2
a_cp = 2*g*(cos(fí) - cos(alfa))
(alfa a maximális kitérési szög; fí a pillanatnyi kitérési szög)

A másodpercinga hossza: l = 0,995 m, ha g = 9,81 m/s^2.


    HULLÁMMOZGÁS. HANGTAN

Hullámhossz jele: lambda mértékegysége: m
lambda = c/f
lambda = c*T

Periódusidő jele: T mértékegysége: s
T = 1/f
T = lambda/c

Frekvencia jele: f mértékegysége: Hz
f = 1/T
f = c/lambda

Terjedési sebesség jele: c; v mértékegysége: m/s
c = lambda*f
c = lambda/T

Egy rezgő részecske kitérése egy adott pontban
y(t) = A*sin(omega*t)

A kitérés egy adott ponttól x távolságban
y(t,x) = A*sin(omega*(t - x/v))
y(t,x) = A*sin(2*pí*(t/T - x/lambda))

A kitérés, ha a t = 0 pillanatban már van a részecskének kitérése
y(t,x) = A*sin(2*pí*(t/T - x/lambda) + fí_0)
(fí_0 a kezdőfázis)

    A hang terjedési sebességének hőmérsékletfüggése gázokban
v = v_0*gyök(1 + t/273)

    Levegőben, 0 C fok hőmérsékleten a hang terjedési sebessége: 331,8 m/s.


    ÁLLÓHULLÁMOK, RUDAK ÉS HÚROK SAJÁT REZGÉSEI

l hosszúságú rúd saját rezgése longitudinális hullám esetén
f_long = 1/(2*l)*gyök(E/ró)
(E a Young-modulus; ró a sűrűség)

F erővel kifeszített, l hosszúságú húr saját rezgése
transzverzális hullám esetén: f_trans = 1/(2*l)*gyök(F/(ró*A))
f_trans = 1/2*gyök(F/(m*l))
longitudinális hullám esetén:    f_long = 1/(2*l)*gyök(E/ró)
(m a húr tömege; ró a húr anyagának sűrűsége; A a húr keresztmetszete; E a
Young-modulus)

A felharmonikusok frekvenciái:
f_n = n*f_alap n = 2, 3, ...


    SÍPOK ALAPFREKVENCIÁI

l hosszúságú, egyik végén nyitott gázoszlop (zárt síp)
f_alap = v/(4*l)
felharmonikusok f_n = (2*n - 1)*f_alap

l hosszúságú, mindkét végén nyitott gázoszlop (nyitott síp)
f_alap = v/(2*l)
felharmonikusok f_n = n* f_alap


    DOPPLER-JELENSÉG

    1. Ha az f_0 frekvenciával rezgő hangforrás v_f
sebességgel mozog az álló megfigyelőhöz képest.

Az észlelt frekvencia:
f = f_0*c / (c +-  v_f)
A hullámhossz:
lambda = lambda_0 +-  v_f/f_0
(c a hang terjedési sebessége; a + jel távolodáskor, a
- jel közeledéskor érvényes)

    2. Ha a megfigyelő v_e sebességgel mozog az f_0
frekvenciával rezgő álló hangforráshoz képest

Az észlelt frekvencia:
f = f_0*(c +-  v_e)/c
A hullámhossz változatlan. (c a hang terjedési
sebessége; a + jel közeledéskor, a - jel távolodáskor
érvényes)

    3. Ha a hangforrás és a megfigyelő is mozog a közeghez képest
közeledéskor f = f_0*(c + v_e)/(c - v_f)
távolodáskor f = f_0*(c - v_e)/(c + v_f)


    HULLÁMOK TALÁLKOZÁSA, INTERFERENCIA

Két azonos fázisban rezgő, pontszerű hullámforrás
esetén azokon a helyeken lesz maximális erősítés,
melyekre

Az útkülönbség delta s = 2*k*lambda/2
A fáziskülönbség delta fí = 2*k*pí

Maximális gyengítés:
Az útkülönbség delta s = (2*k + 1)*lambda/2
A fáziskülönbség delta fí = (2*k + 1)*pí
k = 0, 1, 2, ...

Felületi hullámoknál ezen pontok egyenlő oldalú hiperbolát határoznak meg.


    HULLÁMOK IDEGEN KÖZEG HATÁRÁNÁL

    A visszaverődés törvénye
beesési szög = visszaverődési szög

    A törés törvénye
sin(alfa)/sin(béta) = c_1/c_2 = n_2,1
(c_1 és c_2 a hullám terjedési sebessége az egyes közegekben; n_2,1 a 2.
közegnek az elsőre vonatkoztatott törésmutatója)


    DINAMIKA


    NEWTON-TÖRVÉNYEK

1. A testek sebességváltozását mindig más test hatása
okozza. (A tehetetlenség törvénye.)

2. Fvek = m*avek (A dinamika alaptörvénye, a test
mozgásegyenlete.)

3. F_12vek = - F_21vek (Hatás-ellenhatás törvénye.)


    A FORGÓMOZGÁS ALAPEGYENLETE

sum(M) = Théta*béta


    EGYES MOZGÁSOKAT LÉTREHOZÓ ERŐK

Egyenes vonalú egyenletes mozgás
sum(Fvek) = 0

Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás
sum(Fvek) = állandó vvek || sum(Fvek)

Szabadesés és hajítások
Fvek = m*gvek

Egyenletes körmozgás
|sum(Fvek)| = m*v^2/r
v_kvek merőleges sum(Fvek)
(Az erő irány mindig a kör középpontja felé mutat,
centripetális erő.)

Egyenletesen változó körmozgás
Fvek = gyök((F_tvek)^2 + (F_cpvek)^2)
v_kvek || F_tvek
v_k merőleges F_cpvek

Harmonikus rezgőmozgás
sum(Fvek) ~ y
és iránya a kitéréssel ellentétes

Súrlódás és tapadás
F_tapadási = mű_0*F_nyomó
F_súrlódási = mű*F_nyomó
mű_0 > mű

Lejtőre helyezett test esetén
F_tapadási = mű_0*m*g*cos(alfa)
F_súrlódási = mű*m*g*cos (alfa)
mű = tg(alfa) < mű_0
(alfa a lejtő hajlásszöge)

Gördülő ellenállás
F_g = mű_g*F_nyomó
F_g = f/r*F_nyomó
(f a gördülő ellenállás karja; r a kerék sugara)

Csavarrugó megnyújtásakor fellépő erő F = - D*y


    FORGATÓNYOMATÉKOK

Egy erő forgatónyomatéka
Mvek = Fvek × rvek
(r az erő karja)

Erőpár forgatónyomatéka
Mvek = Fvek × dvek
(d a két erő hatásvonalának távolsága)


    TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK

Théta = m_1*r_1^2 + m_2*r_2^2 + ... + m_k*r_k^2

Théta = sum(m*r^2)

    Steiner-tétel:
Théta = Théta_s + m*l^2
(Théta_s a tömegközépponton, Théta egy tetszőleges
ponton átmenő, de az előbbivel párhuzamos tengelyre
vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, l a két tengely
távolsága.)


    MOZGÁSMENNYISÉG ÉS FORGÁSMENNYISÉG (LENDÜLET ÉS PERDÜLET)

    Lendület megmaradásának tétele (ha F_külső = 0,
azaz zárt rendszer)
m_1*v_1 + m_2*v_2 + ... + m_n*v_n = m_1*u_1 + m_2*u_2 + ... + m_n*u_n
sum(I) = állandó

    Perdület megmaradásának tétele (ha M_külső = 0,
azaz zárt rendszer)

Théta_1*omega_1 + Théta_2*omega_2 + ... + Théta_n*omega_n =
Théta_1ď*omega_1ď + Théta_2ď*omega_2ď + ... + Théta_nď*omega_nď

sum(Théta*omega) = állandó

    Lendülettétel
sum(Fvek) = delta Ivek/ delta t
F*delta t = m*(v_2 - v_1)
F*delta t = m* delta v

    Perdülettétel
sum(Mvek) = delta Nvek/delta t
M*delta t = Théta*(omega_2 - omega_1)
M*delta t = Théta_2*omega_2 - Théta_1*omega_1) (ha Théta is változik)


    ÜTKÖZÉSEK

Két test centrális és egyenes ütközése után a testek
sebességének nagysága

u_1 = (1 - k)*(m_1*v_1 + m_2*v_2)/(m_1 + m_2) - k*v_1
u_2 = (1 - k)*(m_1*v_1 + m_2*v_2)/(m_1 + m_2) - k*v_2
(v az ütközés előtti sebesség; u az ütközés utáni sebesség;
k = (u_1 - u_2)/(v_1 - v_2) az ütközési szám
Ha k = 0, akkor az ütközés tökéletesen rugalmatlan; ha
k = 1, akkor az ütközés tökéletesen rugalmas.)

Igen nagy tömegű (m_1>> m_2), álló helyzetű testtel
való ütközés után a mozgó test sebességének nagysága

tökéletesen rugalmatlan ütközésnél u_2 = 0
tökéletesen rugalmas ütközésnél u_2 = - v_2
általában u = - k*v


    MUNKA, ENERGIA, TELJESíTMÉNY, HATÁSFOK

    Állandó erő munkája
W = F*s
W = P*t

Az erő munkája, ha F és s alfa szöget zár be
W = F*s*cos(alfa)

    Az út szerint egyenletesen változó erők munkája
W = (F_1 + F_2)/2*s
W = F_k*s

    Az út szerint egyenlőtlenül változó erők munkája
W = sum(F*delta s)

    Konzervatív erőtérben
E_h + E_m = állandó

    Munkatétel
delta E_m = W
E_m2 - E_m1 = W

    Emelési munka
W_e = m*g*h

    Helyzeti energia
E_h = m*g*h

    Gyorsítási munka
W_gy = m*a*a/2*t^2

    Mozgási energia
E_m = 1/2*m*v^2

    Súrlódási munka
W_s = F_s*s (Belsőenergia-növekedés)

    A rugó megnyújtásakor végzett munka
W_r = (F_1 + F_2)/2*y

    Rugóenergia
E_r = 1/2*D*y^2

    Tengellyel rögzített merev testre ható erő munkája
W_f = F*r*fí
W_f = M*fí

    Forgási energia
E_f = 1/2*Théta*omega^2

    Forogva haladó merev test energiája
E = E_f + E_m
E = 1/2*Théta_s*omega^2 + 1/2*m*v_s^2
(Théta_s a súlyponton átmenő tengelyre vonatkozó
tehetetlenségi nyomaték; v_s a súlypont sebessége)

    Helyzeti energia a gravitációs mezőben
E = - gamma*M*m/r
(M a vonzócentrum tömege; r a tömegközéppontok távolsága)

    A teljesítmény
P = W/t

    Az átlagteljesítmény
P_átlag = sum(W) / sum(t)

    Pillanatnyi teljesítmény
P_pill = F*v_pill

    Egyenletesen változó erő esetén (v = állandó) az átlagteljesítmény
P_átlag = (F_1 + F_2)/2*v

    Egyenletesen változó sebesség esetén (F = állandó) az átlagteljesítmény
P_átlag = (v_1 + v_2)/2*F

    Forgómozgásnál az átlagteljesítmény
P_átlag = M*fí/t
P_átlag = M*omega
P_átlag = W*n
(M a forgatónyomaték; n a fordulatszám)

    Forgómozgásnál a pillanatnyi teljesítmény
P_pill = M*omega_pill

    Forogva haladó mozgásnál a pillanatnyi teljesítmény
P_pill = F*v_pill + M*omega_pill

    A munkavégzés hatásfoka
éta = W_hasznos/E_befektetett
éta = P_hasznos/P_befektetett
éta <= 1


    SZTATIKA

    Pontszerű testek egyensúlyának feltétele
sum(Fvek) = 0

    Merev test egyensúlyának feltétele
két erő esetén:
F_1 = - F_2
és a két erő hatásvonala egy egyenesbe essen

három erő esetén
sum(Fvek) = 0
és a három erő hatásvonala egy pontban messe egymást.

több erő esetén
sum(Fvek_x) = 0 sum(Fvek_y) = 0 sum(Fvek_z) = 0
sum(Mvek) = 0
a test bármely pontjára

    Tengellyel rögzített merev test egyensúlyának feltétele
sum(Mvek) = 0

    Merev test egyensúlyának feltétele párhuzamos
erők esetén
sum(Fvek) = 0
sum(Mvek) = 0
a test bármely pontjára.


    ERŐTRANSZFORMÁTOROK (EGYSZERŰ GÉPEK)

Az egyensúlyozó erő

    egykarú, illetve kétkarú emelőnél F = G*r_2/r_1
    állócsigánál F = G
    mozgócsigánál F = G/2 (függőleges irányú erő esetén)
F = G/2*cos(alfa) (az erő iránya a függőlegessel alfa szöget zár be)
    egyszerű csigasornál F = G/(2*n) (n a csigák száma)
    hengerkeréknél   F = G*r/R   (r a henger, R a kerék sugara)
    lejtőnél F = G*sin(alfa) (lejtő irányú erő)
             F = G*tg(alfa) (vízszintes erő)


    RUGALMAS ALAKVÁLTOZÁSOK

    MEGNYÚLÁS

Megnyúlás jele: delta l   mértékegysége: m
delta l = F*l_0/(E*A)
(l_0 az eredeti hosszúság,  A a keresztmetszet, E a Young modulus)

Relatív megnyúlás jele: epszilon_l mértékegysége: -
epszilon_l = delta l/l

Relatív keresztirányú méretváltozás   jele: epszilon_d mértékegysége: -
epszilon_d = delta d/d

Poisson-szám jele: mű   mértékegysége: -
mű = epszilon_d/epszilon_l

Rugalmas feszültség jele: szigma mértékegysége: N/m^2
szigma = F/A

Hooke-törvény szigma = epszilon_l*E

Nyújtáskor fellépő relatív térfogatváltozás
delta V/V = (1-2*mű)/E*F/A
(Nyújtáskor a térfogat általában növekszik, illetve sohasem csökken.)

    A tárolt energia megnyúlás, illetve összenyomódás esetén
W = 1/2*F*(delta l)^2
W = szigma^2*A*l/(2*E)

    Rugó esetén
F = D*y
W = 1/2*D*y^2
(D a rugóállandó, y a rugó megnyúlása)


    LEHAJLÁS

Az egyik végén befogott téglalap keresztmetszetű rúdnál
s = 4*F*l^3/(E*a*b^3)
(l a rúd hossza, a a keresztmetszet vízszintes oldala, b a keresztmetszet
függőleges oldala)

Más keresztmetszetű rúdnál
s = 1/(3*E)*l^3/I*F
I_kör = pí/4*R^4
I_cső = pí/4*(R_2^4 - R_1^4)

Két végén alátámasztott téglalap keresztmetszetű rúdnál
s = F*l^3/(4*E*a*b^3)
(l a rúd hossza, a a keresztmetszet vízszintes oldala, b a keresztmetszet
függőleges oldala)

Más keresztmetszetű rúdnál
s = 1/(48*E)*l^3/I*F
I_kör = pí/4*R^4
I_cső = pí/4*(R_2^4 - R_1^4)


    NYíRÁS

A csúszási szög
gamma = s/l
gamma = 1/G*F/q
gamma = tau/G
(tau a nyírási feszültség, G a torziós rugalmas modulus, tau_megengedett =
0,8*szigma_megengedett)


    CSAVARÁS

Az elcsavarodás szöge
gamma_cs = 2/(pí*G)*l/r^4*M

A tárolt energia
W_cs = 1/2*M*gamma_cs


    RUGÓK KAPCSOLÁSA

Párhuzamos kapcsolásnál D_eredő = D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_n

Sorba kapcsolásnál 1/D_eredő = 1/D_1 + 1/D_2 + ... + 1/D_n


    TEHETELENSÉGI (NEM NEWTONI) ERŐK

Nem inerciarendszerben a testek tehetetlensége miatt
tehetetlenségi erők lépnek fel.

Egyenes vonalban gyorsuló rendszerben az a gyorsulás
irányával ellentétes F = - m*a erő lép fel.

Ezért például az inga fonala a függőlegessel
tg(alfa) = a/g   szöget zár be.

A folyadék felszíne a vízszintessel
tg(alfa) = a/g    szöget zár be.

Forgó rendszerben a rendszerhez képest nyugalomban
levő testekre a forgástengelytől sugár irányban kifelé
mutató erő, a centrifugális erő lép fel.
F_cf = m*r*omega^2
(r a testnek a forgástengelytőől mért távolsága, omega
a rendszer szögsebessége)

Forgó rendszerben e rendszerhez képest nyugalomban
levő testekre  a centrifugális erőn kívül fellép a
pillanatnyi sebességre merőleges Coriolis-erő is.
F_Corvek = m*a_Corvek
F_Corvek = 2*m*omegavek × v_pillvek
(omega a rendszer szögsebessége)

A forgó folyadék felszíne paraboloid. Síkmetszetének
egyenlete
y = omega^2/g*x^2
(omega a rendszer szögsebessége)


    TÖMEGVONZÁS

    Newton-féle gravitációs törvény
F = gamma*m_1*m_2/r^2
(m a testek tömege, r a tömegközéppontjaik távolsága,
gamma a gravitációs állandó  gamma = 6,672*10^-11
N*m^2/kg^2

    A Föld felszínén nyugvó m tömegű testre ható gravitációs erő
F_g = gamma*M*m/R^2
F_g = m*g
(M = 5,973*10^24 kg a Föld tömege,
R = 6,371*10^6 m a Föld sugara)

Nehézségi erő
F_nehvek = F_gvek + F_cfvek

Súlyerő (az az erő, amivel a gravitációs mezőben levő
testek az alátámasztási felületet nyomják)

Ha a test felfelé a gyorsulással mozog, a súlyerő
F_s = m*(g + a)

Ha a test lefelé a gyorsulással mozog, a súlyerő
F_s = m*(g - a)

Ha a = g, akkor
F_s = 0 (súlytalanság állapota)

Ha a test függőleges irányban nem gyorsul (a = 0), a
nehézségi erő egyenlő a súlyerővel
F_s = m*g

    A gravitációs gyorsulás a Föld felszínén
g(0) = gamma*M/R^2

    A g értéke h magasságban
g(h) = gamma*M/(R + h)^2
g(h) = g(0)*R^2/(R + h)^2
g(h) =~ g(0)*(1-2*h/R) = g(0) - 3,086*10^-6*h

    A nehézségi gyorsulás értékei a Föld különböző helyein
a sarkokon 9,83221 m/s^2
az Egyenlítőn 9,78049 m/s^2
normál értéke 9,80665 m/s^2 (Zürichben, 45 fok szélességen)
Budapesten 9,80852 m/s^2
középértéke 9,798 m/s^2

    A nehézségi gyorsulás a Nap felszínén 273,98 m/s^2

A Föld centripetális gyorsulása a Nap felé   0,59*10^-2 m/s^2


    A BOLYGÓK MOZGÁSA


    KEPLER-TÖRVÉNYEK

1. A bolygók pályája ellipszis, melynek egyik
gyújtópontjában van a Nap.

2. A vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket
súrol.  A területi sebesség állandó.

3. Az egyes bolygók keringési idejének és a
bolygópálya fél nagytengelyeinek kapcsolata
T_1^2 : T_2^2 = a_1^3 : a_2^3

Ellipszis pályán keringő bolygó pillanatnyi sebessége
v_pill = gyök(gamma*M*(2/r - 1/a))
(M a Nap tömege, r a vezérsugár,
gamma = 6,672*10^-11 N*m^2/kg^2  a gravitációs állandó)
Ha r = a
v = gyök(gamma*M*1/r) (körsebesség)

Ellipszis pályán keringő bolygó keringési ideje
T = 2*pí*gyök(a^3/(gamma*M))
(M a Nap tömege)

Ha a pálya kör T = 2*pí*gyök(r^3/(gamma*M))

A Naprendszer bolygói gyorsulásának nagysága a Nap felé
g_b = gamma*M_Nap/r^2
(r a Naptól való távolság)


    KOZMIKUS SEBESSÉGEK

1. Körsebesség a Föld felszínén
v_1 = gyök(gamma*M/R) = 7,912 km/s

2. Szökési sebesség a Föld gravitációs teréből
v_2 = v_1*gyök(2) = 11,189 km/s

3. Szökési sebesség a Nap gravitációs teréből, a Föld
felszínéről v_3 = 42,1 km/s


    FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA


    HIDROSZTATIKA

    Hidrosztatikus nyomás
p = p_0 + h*ró*g
(p_0 a külső nyomás, ró a folyadék sűrűsége)

Közlekedőedények egyensúlya
h_1*ró_1 = h_2*ró_2 = h_3*ró_3
(ró_1, ró_2, ró_3 az egyes nem keveredő folyadékok sűrűsége; h_1, h_2, h_3
a magasságuk)

Hidrosztatikus sajtó egyensúlya
F_1/A_1 = F_2/A_2
(A_1, A_2 a hengerek keresztmetszete, F_1, F_2 az egyes hengerek
dugattyúira ható erők)

    Folyadékba merülő testek egyensúlya
V_t*ró_t*g = V_bem*ró_f*g
(V_t a test térfogata, V_bem a test folyadékba merülő
részének térfogata, ró_t a testnek, ró_f a folyadéknak
a sűrűsége)
Ha ró_t < ró_f , a test úszik.
Ha ró_t = ró_f, a test lebeg.
Ha ró_t > ró_f, a test elmerül.

    Arkhimédész törvénye
F_fel = V_bem*ró_f*g
(V_bem a test folyadékba merülő részének térfogata)


    FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK ÁRAMLÁSA

Áramerősség jele: I mértékegysége: m^3/s
I = V/t
I = A*s/t
I = A*v
(v az áramló folyadék sebessége, V az áramlási cső A
keresztmetszetén t idő alatt átáramló folyadék
térfogata)

    A folytonosság törvénye (a kontinuitási egyenlet)
összenyomhatatlan folyadékban   A_1*v_1 = A_2*v_2 = állandó
összenyomható folyadékokban, gázokban   ró_1*A_1*v_1 = ró_2*A_2*v_2

    Bernoulli törvénye
p_1 + ró*h_1*g + 1/2*ró*v_1^2 = p_2 + ró*h_2*g + 1/2*ró*v_2^2 = ... = áll

Az edény oldalán, a felszíntől h mélységben levő
nyíláson kifolyó folyadék sebessége v = gyök(2*h*g)

Gáztartályból kis nyíláson kiáramló gáz sebessége
v = gyök(2*(p_b - p_k)/ró_gáz)
(p_b a gáztartályban levő nyomás, p_k a külső nyomás)


    MOLEKULÁRIS JELENSÉGEK FOLYADÉKOKBAN

    Felületi feszültség (a folyadék saját gőzével
vagy levegővel érintkezik)

Egy határoló felület esetén
szigma = delta E/delta A
szigma = F/l
(delta E/delta A az egységnyi felszínváltozáshoz
szükséges energia, F az l hosszúságban működő
összehúzó erő)

Két határoló felület (hártya) esetén
szigma = delta E/delta A
szigma = F/(2*l)
(delta A a két oldal együttes felületváltozása)

A felületi energia megváltozása (a végzett munka)
hártyánál, ha a felületet
delta A-val növeljük
delta E = W
delta E = 2*szigma*l*delta x
delta E = 2*szigma*delta A


    HŐTAN

HŐTANI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

    Normál állapot
t_0 = 0 C fok, illetve T_0 = 273,15 K
p_0 = 101325 Pa

    Fajhő jele: c mértékegysége: J/(kg*K)
c = Q/(m*delta T)
(c_p állandó nyomáson, c_V állandó térfogaton mért fajhő)

    Hőkapacitás jele: C mértékegysége: J/K C = Q/delta T C = m*c

    Szabadsági fokok száma jele: f mértékegysége: -
Egyatomos gázoké 3,
kétatomos gázoké 5,
többatomos gázoké 6.

Planck-állandó jele: h   mértékegysége: J*s h = 6,626*10^-34 J*s

Boltzmann-állandó jele: k mértékegysége: J/K k = 1,381*10^-23 J/K
k = R/N_A

Olvadáshő jele: L_o mértékegysége: J/kg

Forráshő jele: L_f mértékegysége: J/kg

Moláris tömeg jele: M mértékegysége: kg/mol M = m/n

Egyetlen molekula vagy atom tömege jele: m_0 mértékegysége: kg

Részecskék száma jele: N mértékegysége: -

    Avogadro-szám jele: N_A mértékegysége: 1/mol
N_A = 6,022*10^23 1/mol
N_A = N/n

Loschmidt-szám jele: N_L mértékegysége: 1/m^3
N_L = 2,687*10^25 1/m^3   (normál állapotban)
N_L = N_A/V_m
(csak ideális gázokra!!)

Anyagmennyiség (mólszám)   jele: n mértékegysége: mol
n = m/M

Hő, hőmennyiség jele: Q mértékegysége: J

Moláris, általános gázállandó   jele: R mértékegysége: J/(mol*K)
R = 8,31 J/(mol*K)
R = p_0*V_m/273

Specifikus gázállandó, anyagállandó jele: R_sp   mértékegysége: J/(kg*K)
R_sp = R/M
R_sp = p/(ró*T)

Belső energia jele: E_b; U mértékegysége: J

Moláris térfogat   jele: V_m mértékegysége: m^3/mol V_m = V/n

    Ideális gázok moláris térfogata normál állapotban
V_m = 2,24*10^-2 m^3/mol

Specifikus térfogat jele: v mértékegysége: m^3/kg

Lineáris hőtágulási együttható jele: alfa mértékegysége: 1/K

Térfogati (köbös) hőtágulási együttható jele: béta mértékegysége: 1/K
Ideális gázoknál béta = 1/273 1/K

Hőáram jele: Fí   mértékegysége: W
Fí = Q/t

Fajhőviszony jele: kappa mértékegysége: - kappa = c_p/c_V

Hővezetési tényező jele: lambda mértékegysége: J/(s*m*K)


    HŐTÁGULÁS

Szilárd testek lineáris hőtágulása
delta l = alfa*l_0*delta t
l_t = l_0*(1 + alfa*delta t)

Szilárd testek területi hőtágulása
delta A = 2*alfa*A_0*delta t
A_t = A_0*(1 + 2*alfa*delta t)

Szilárd testek térfogati hőtágulása
lta V = 3*alfa*V_0*delta t
t = V_0*(1 + 3*alfa*delta t)

Folyadékok térfogati hőtágulása
delta V = béta*V_0*delta t
V_t = V_0*(1 + béta*delta t)

Szilárd testek és folyadékok hő okozta sűrűségváltozása
ró_t = ró_0/(1 + béta*t)

Szilárd testek és folyadékok hőmérsékletének delta
t-vel való megváltoztatásához szükséges hő
Q = c*m*delta t
Q = C*delta t
(c a fajhő, C a hőkapacitás)

N atomból álló kristály fajhője   c = 6/2*k/m_0
hőkapacitása C = 6/2*N*k
(k a Boltzmann-állandó, m_0 egy atom tömege)

Szilárd testek és folyadékok termikus kölcsönhatásakor
kialakult közös hőmérséklet
t_k = (c_1*m_1*t_1 + c_2*m_2*t_2 + ... + c_n*m_n*t_n)/(c_1*m_1 +
c_2*m_2+  ... + c_n*m_n)


    HALMAZÁLLAPOTVÁLTOZÁSOK

Az olvadáspontján levő m tömegű anyag teljes
megolvasztásához szükséges hő Q = L_o*m

Az olvadáspont nyomásfüggése
delta T_o/delta p = T_o*(v_f - v_sz)/L_o
(T_o az olvadáspont, v_f és v_sz a folyékony, illetve
a szilárd anyag fajlagos, tömegegységre vonatkoztatott
térfogata)

Az m tömegű folyadék ugyanolyan hőmérsékletű gőzzé
alakításához szükséges hő
Q = L_p*m (L_p a párolgáshő)

A forráspontján levő m tömegű folyadék teljes
elforralásához szükséges hő
Q = L_f*m (L_f a forráshő)

A forráspont nyomásfüggése
delta T_f/delta p = T_f*(v_g - v_f)/L_f
(T_f az forráspont, v_g és v_f a gőz, illetve a
folyadék fajlagos, a tömegegységre vonatkoztatott
térfogata)


    IDEÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTVÁLTOZÁSAI

    Izotermikus állapotváltozás (T = állandó)
Boyle-Mariotte-törvény
p_1*V_1 = p_2*V_2 = p_3*V_3 = ... = állandó

    Izobár állapotváltozás (p = állandó)
Gay-Lussac I. törvénye
delta V = V_0*béta*delta t
V_t = V_0*(1 + béta*delta t)
(béta = 1/273 1/C fok)
V_1/T_1 = V_2/T_2 = ... = állandó

    Izochor állapotváltozás (V = állandó)
Gay-Lussac II. törvénye
delta p = p_0*béta*delta t
p_t = p_0*(1 + béta*delta t)
(béta = 1/273 1/C fok)
p_1/T_1 = p_2/T_2 = ... = állandó

    Adiabatikus állapotváltozás (Q = 0)
p*V^kappa = állandó
T*V^(kappa - 1) = állandó
T*p^((1 - kappa)/kappa) = állandó
p_1/p_2 = (V_2/V_1)^kappa  
T_2/T_1 = (V_1/V_2)^(kappa - 1)
T_1/T_2 = (p_2/p_1)^((1 - kappa)/kappa)

    Egyesített gáztörvény
p*V = p_0*V_0*(1 + béta*delta t)
(béta = 1/273 1/C fok)
p_1*V_1/T_1 = p_2*V_2/T_2 = ... = állandó
p_1/(ró_1*T_1) = p_2/(ró_2*T_2) = ... = állandó

Ha a folyamatban a gáz tömege is változik
p_1*V_1/(m_1*T_1) = p_2*V_2/(m_2*T_2)

    Állapotegyenletek
p*V_m = R*T   (1 molra)
p*V = m/M*R*T
p*V = n*R*T   (n a mólszám)
p*V = N*k*T   (k a Boltzmann-állandó, N a részecskeszám)

Gázok sűrűsége
ró = p/(R_sp*T)

Ideális gázok elegyének állapotegyenlete
p*V = (N_1 + N_2 + ... + N_n)*k*T
(N_1, N_2, ... a gáztérben levő egyes alkotóelemek
részecskéinek száma)

Gázelegyek nyomása (Dalton-törvény)
p = p_1 + p_2 + ... + p_n
(p_1, p_2, ... az összetevők parciális nyomása)


    TÁGULÁSI MUNKA

Bármely folyamatnál
W = sum(p*delta V)

Izobár folyamatnál (p = állandó)
W = p*delta V

Izoterm folyamatnál (T = állandó)
W = N*k*T*ln(V_2/V_1)
W = m/M*R*T*ln(V_2/V_1)
W = m/M*R*T*ln(p_1/p_2)

Izochor folyamatnál (V = állandó)
W = 0

Adiabatikus folyamatnál (Q = 0)
W = (p_1*V_1 - p_2*V_2)/(kappa - 1)

A gáz munkájának termikus hatásfoka körfolyamatoknál
éta = (Q_fel - Q_le)/Q_fel

Megfordítható Carnot-körfolyamatnál
éta = (T_1 - T_2)/T_1
(T_1 a magasabb, T_2 az alacsonyabb hőmérséklet)


    KINETIKUS GÁZELMÉLET

    IDEÁLIS GÁZOK BELSŐ ENERGIÁJA

A kinetikus gázelmélet alapegyenlete
p*V = 2/3*N*m_0*v^2_átlag/2
p*V = 2/3*N*epszilon
(N a V térfogatban levő, m_0 tömegű részecskék száma,
v^2_átlag a részecskék sebességnégyzetének átlaga)

Egyatomos gáz egy részecskéjének átlagos mozgási energiája
epszilon_átlag = m_0*v^2_átlag/2
epszilon_átlag = 3/2*k*T

    Egy szabadsági fokra jutó átlagos energia
epszilon_x,átlag = m_0*v_x^2_átlag/2
epszilon_x,átlag = 1/2*k*T

Egyatomos gáz egy részecskéjének átlagos energiája
epszilon_átlag = epszilon_x + epszilon_y + epszilon_z
epszilon_átlag = 1/2*m_0*v_x^2_átlag + 1/2*m_0*v_y^2_átlag +
1/2*m_0*v_z^2_átlag)
epszilon_átlag = 3/2*k*T

Kétatomos gáz egy részecskéjének átlagos energiája
epszilon_átlag = epszilon_mx + epszilon_my + epszilon_mz +
                 + epszilon_fx + epszilon_fy
epszilon_átlag = 5/2*k*T
(epszilon_m a haladási, epszilon_f a forgási energia)

Többatomos gáz egy részecskéjének átlagos energiája
epszilon_átlag = epszilon_mx + epszilon_my + epszilon_mz +
                 + epszilon_fx + epszilon_fy + epszilon_fz
epszilon_átlag = 6/2*k*T
(epszilon_m a haladási, epszilon_f a forgási energia)

    Ekvipartíció tétele
epszilon_i = 1/2*k*T

A hőmérséklet termodinamikai meghatározása
T = 2*epszilon_x/k

A részecskék átlagos sebessége
v_átlag = gyök(3*R*T/M)
(független a nyomástól)

A másodpercenkénti átlagos ütközések száma
z_átlag = v/l
(l a szabad úthossz)

    Az átlagos szabad úthossz
l_átlag = k*T/(gyök(2)*pí*d^2*p)
(d a gömb alakú részecske átmérője)

0 C fokon a H_2 molekulák átlagos sebessége 1844 m/s,
az N_2 molekuláké 493 m/s, az O_2 molekuláké 461 m/s.
Az átlagos szabad úthossz közönséges körülmények
között nagyon kicsi, például, 10^5 Pa nyomáson 25 C
fok hőmérsékleten az N_2 gázban 7,5*10^-8 m.  Az
ütközések száma például 5*10^9 1/s, ha a
részecskesűrűség 2,5*10^25 db/m^3.

    Az N részecskéből álló gáz belső energiája
E_b = f/2*N*k*T
E_b = f/2*n*R*T
(f a szabadsági fokok száma. Egyatomos gáznál f = 3,
kétatomos gáznál f = 5, többatomos gáznál f = 6.)

Gázok hőkapacitása állandó térfogatnál
C_V = f/2*N*k

Gázok hőkapacitása állandó nyomásnál
C_p = (f + 2)/2*N*k

Gázok fajhője állandó térfogatnál
c_V = f/2*k/m_0

Gázok fajhője állandó nyomásnál
c_p = (f + 2)/2*k/m_0
(m_0 a részecske tömege)

A gáz hőmérsékletének delta T-vel való emeléséhez szükséges hőmennyiség

Állandó térfogatnál
Q = c_V*m*delta T
Q = C_V*delta T

Állandó nyomásnál
Q = c_p*m*delta T
Q = C_p*delta T

A kétféle fajhő kapcsolata (Robert-Mayer-egyenlet)
c_p - c_V = R/M
c_p/c_V = kappa
(kappa értéke egyatomos gázoknál 5/3, kétatomos
gázoknál 7/5, többatomos gázoknál 8/6.)


    A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI

1. delta E_b = Q + W
(W pozitív, ha külső erő, negatív, ha a gáz végzi a
munkát)

2. Hő nem juthat magától hidegebb testről melegebb
testre. A statisztikus fizika megfogalmazása szerint
zárt anyaghalmaz entrópiája nem csökkenhet.  S >= 0

3. Az abszolút zérus pont (a 0 k hőmérséklet) nem
érhető el. (Nernst-tétel)

Az 1. főtétel alkalmazásai ideális gáz speciális folyamataira
Izotermikus tágulásnál (T = állandó)
delta E_b = 0 és |Q| = |W|
(A közölt hő munkavégzésre fordítódik.)

    Izochor folyamatnál (V = állandó)
delta E_b = Q és W = 0
(A közölt hő a gáz belső energiáját növeli.)

    Izobár tágulásnál (p = állandó)
delta E_b = Q + W
Q = c_V*m*delta T + p*delta V = c_p*m*delta T
(A közölt hő részben a belső energiát növeli, részben munkavégzésre
fordítódik.)

    Adiabatikus tágulásnál (Q = 0)
delta E_b = W
(A munkavégzés a belső energia rovására történik.)

    Ideális gázok belső energiája
E_b = c_V*m*T
delta E_b = c_V*m*delta T

A belső energia megváltozása körfolyamatoknál
delta E_b = 0 és  sum(Q) + sum(W) = 0


    VALÓSÁGOS GÁZOK VAN DER WAALS-FÉLE ÁLLAPOTEGYENLETE

(p + a/V_m^2)*(V_m - b) = R*T (1 molra)
(p + n^2*a/V^2)*(V - n*b) = n*R*T (n molra)
(a/V_m^2 a molekulák közötti vonzóerőből származó
nyomáskorrekció, b a molekulák saját térfogatának az
összege.)


    ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

    ELEKTROMOS MEZŐ

    A vákuum dielektromos állandója
epszilon_0 = 1/(4*pí*k)
epszilon_0 = 8,854*10^-12 A*s/(V*m)
k = 1/(4*pí*epszilon_0)
k = 9*10^9 N*m^2/C^2 = 9*10^9 V*m/(A*s)


    ELEKTROMOSSÁGTANI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

Elektromos töltés jele: Q mértékegysége: C (A*s)
Q = I*t

Elektromos térerősség   jele: E mértékegysége: N/C (V/m, m*kg/(A*s^3))
E = F/Q

Elektromos térerősség fluxusa jele: Pszí_E mértékegysége: V*m
(m^3*kg/(A*s^3) )
Pszí_E = E*A

Elektromos eltolás jele: D mértékegysége: A*s/m^2
D = epszilon*E

Elektromos eltolás fluxusa jele: Pszí_D mértékegysége: A*s
Pszí_D = D*A

Térfogati töltéssűrűség jele: ró mértékegysége: A*s/m^3
ró = Q/V

Felületi töltéssűrűség   jele: szigma   mértékegysége: A*s/m^2
szigma = Q/A

Elektromos potenciál   jele: U mértékegysége: V ( kg*m^2/(A*s^3) )
U = W/Q

Kapacitás   jele: C mértékegysége: F ( A*s/V, A^2*s^4/(m^2*kg) )
C = Q/U

Elektromos dipólusnyomaték jele: m_e mértékegysége: A*s*m
m_e = Q*l


    ELEKTROSZTATIKUS TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK

    Pontszerű töltések kölcsönhatása (Coulomb-törvény)
F = k*Q_1*Q_2/r^2
F = 1/(4*pí*epszilon_0)*Q_1*Q_2/r^2

    Pontszerű töltés elektromos mezőjének térerőssége
E = k*Q/r^2
E = 1/(4*pí*epszilon_0)*Q/r^2

    Q töltésből kiinduló összes térerősségvonalak száma
Pszí_öE = Q/epszilon_0

Változó mágneses fluxus tengelyétől r távolságban az elektromos térerősség
E = 1/(2*r*pí)*delta Fí/delta t

    Pontszerű töltés elektromos mezőjének potenciálja
U = k*Q/r
U = 1/(4*pí*epszilon_0)*Q/r

    R sugarú, Q töltéssel bíró gömb potenciálja
U = k*Q/R
U = 1/(4*pí*epszilon_0)*Q/R

Homogén elektromos mező munkája, ha s a Q töltés elmozdulása
W = Q*E*s*cos(fí)
(fí az E és s által bezárt szög)

    Gömb kapacitása
C = 4*pí*epszilon_0*R
(a Föld kapacitása 700 mikroF)

    Síkkondenzátor kapacitása, ha a lemezek közötti szigetelő relatív
dielektromos állandója epszilon_r
C = epszilon_0*epszilon_r*A/d

Síkkondenzátor két lemeze közötti erőhatás
F = 1/epszilon_0*Q^2/(2*A)
F = epszilon_0*E^2*A/2

    Feltöltött lemezes kondenzátor energiája
W = 1/2*C*U^2
W = 1/2*Q*U
W = 1/2*Q^2/C

    Homogén elektromos mező energiája
W = 1/2*epszilon_0*E^2*V

    Elektromos mező energiasűrűsége
w = 1/2*epszilon_0*E^2

Q töltéssel bíró, R sugarú gömb elektromos mezőjének energiája
W = 1/(8*pí*epszilon_0)*Q^2/R

Q töltéssel bíró, R sugarú gömb elektromos mezőjének energiasűrűsége a
középponttól r távolságban
w = 1/32*Q^2/(pí^2*epszilon_0*r^4)

C kapacitású kondenzátor töltésének időfüggése, ha t =
0-nál q = 0; és Q a végső töltésérték, R a töltőkör
ellenállása; kisütéskor, ha t=0-nál q=Q, és a kisütés
R ellenálláson történik
q_be = Q*(1 - e^(-t/(C*R)))
q_ki = Q*e^(-t/(C*R))

C kapacitású kondenzátor töltőáramának időfüggése, R a
töltőáramkör ellenállása, U a végső feszültség;
kisütéskor, ha a kisütés R ellenálláson keresztül
történik
i_be = U/R*e^(-t/(C*R))
i_ki = - U/R*e^(-t/(C*R))

    Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása
C = C_1 + C_2 + C_3 + ... + C_n

    Sorba kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása
1/C = 1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3 + ... + 1/C_n


    EGYENÁRAM

    Az áramerősség: az A felületen az egységnyi idő alatt átáramló töltés
I = Q/t
I = e*n*A*v_átlag
(e az elektron töltése, n a térfogategységben levő szabad elektronok száma,
v_átlag az átlagos elektronsebesség)

Az áramerősség és a térerősség kapcsolata
I = E*A/ró
(A a vezető keresztmetszete, ró a fajlagos ellenállás)

    Ohm törvénye az áramkör egy szakaszára
R = U/I

    Ohm törvénye teljes áramkörre
U_0 = I*(R_k + R_b)
U_0 = U_k + U_b
(U_k = I*R_k a külső ellenálláson eső feszültség, a kapocsfeszültség; U_b =
I*R_b a belső  ellenálláson kialakuló feszültség, a belső feszültség; U_0 az
üresjárási feszültség vagy elektromotoros erő)
Terheletlen áramforrás esetén U_k = E és I = 0.

    A vezeték ohmikus ellenállása
R = ró*l/A
(ró a fajlagos ellenállás, l a vezetők hossza, A a keresztmetszet.)

A fajlagos ellenállás molekuláris adatokkal
ró = 2*m_e*v_átlag/(n*e^2*lambda)
(m_e az elektron tömege, e a töltése, n a
térfogategységben levő elektronok száma, v_átlag az
elektronok átalagos sebessége, lambda az elektronok
szabad úthossza.)

    Az ellenállás hőmérsékletfüggése
R_t = R_0*(1 + alfa*t)
R_t = R_20*(1 + alfa*(t - 20 C fok))
(alfa a hőfoktényező)
(0 K közelében a vezetők ellenállása nullává válik
(szupravezetés))

Egyenáramú fogyasztók táplálásához szükséges
vezeték-keresztmetszet egy kívánt feszültség
biztosítására
A = I*ró*l/U_v
(A a vezeték keresztmetszete, l a tápvezetékpár
együttes hossza, ró a fajlagos ellenállás, U_v a
feszültség a tápvezetéken.) Melegedés szempontjából a
vezeték méretezését a terhelési táblázatok szerint
ellenőrizni kell.

    Az elektromos munka, illetve az áram által
fejlesztett hő egyenáram esetén
W = I^2*R*t
W = U*I*t
W = U^2/R*t

    Az elektromos teljesítmény
P = W/t


    ELLENÁLLÁSOK KAPCSOLÁSA

    Soros kapcsolásnál
R_eredő = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n
R_eredő = sum(R)
U_eredő = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n
U_eredő = sum(U)
I_1 = I_2 = I_3 = ... = I_n
U_1 : U_2 : U_3 : ... = R_1 : R_2 : R_3 : ...

    Párhuzamos kapcsolásnál
1/R_eredő = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3 + ... + 1/R_n
1/R_eredő = sum(1/R)
U_1 = U_2 = U_3 = ... = U_n
I_eredő = I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_n
I_eredő = sum(I)
I_1 : I_2 : I_3 : ... = (1/R_1) : (1/R_2) : (1/R_3) : ...

Két ellenállás esetén
R_1,2 = R_1*R_2/(R_1 + R_2)

Három ellenállás esetén
R_1,2,3 = R_1*R_2*R_3/(R_1*R_2 + R_2*R_3 + R_1*R_3)


    AZ ÁRAMELÁGAZÁSOK TÖRVÉNYEI

    Kirchhoff 1. törvénye, a csomóponti törvény
sum(I_be) = sum(I_ki)

    Kirchhoff 2. Törvénye, a huroktörvény
minden hurokra külön-külön
sum(U_E) = sum(I*R)

Wheatstone-mérőhíd
R_x = R_3*R_1/R_2 ha a műszeren nem halad át áram.

Feszültségosztó, potenciométer
U_1 : U = R_1 : R
U_1 = I*R_f
I = U*R_1/(R_1*R_2 + R_f*R)
I = U*R_1/(R*(R_1 + R_f) - R_1^2)
(I a fogyasztón átmenő áramerősség, R_f a fogyasztó
ellenállása, R a potenciométer ellenállása, U_1 a
fogyasztó feszültsége)


    GALVÁNELEMEK KAPCSOLÁSA

    Soros kapcsolásnál
R_eredő = n*R
U_eredő = n*U
I_eredő = n*U/(n*R + R_k)
(U, R egy-egy elem adata, n az egyforma elemek száma)

    Párhuzamos kapcsolásnál
R_eredő = R/n
U_eredő = U
I_eredő = U/(R/n + R_k)
(U, R egy-egy elem adata, n az egyforma elemek száma)

Vegyes kapcsolásnál
R_eredő = s*R/p
U_eredő = s*U
I_eredő = s*U/(s*R/p + R_k)
(U, R egy-egy elem adata, s a sorosan, p a
párhuzamosan kapcsolt egyforma elemek száma)

Az áramerősség akkor a legnagyobb, ha
s/p*R = R_k

A galvánelemek teljesítményének hatásfoka
éta = R_k/(R_k + R_b)
(R_b az egész telep belső ellenállása)

A hatásfok akkor a legnagyobb (50%), ha R_k = R_b
(Párhuzamosan kapcsolni csak azonos elektromotoros
erejű elemeket, illetve csoportokat szabad.)


    ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN

    Faraday-törvények
1. I erősségű áram által t idő alatt kiválasztott anyagmennyiség
m = k*I*t
m = k*Q
(k az elektrokémiai egyenérték)

2. Ugyanaz a töltésmennyiség különböző elektrolitokból kémiailag
egyenértékű anyagmennyiségeket választ ki
k_1 : k_2 = (A_1/z_1) : (A_2/z_2)
(A a relatív atomtömeg, z az oxidációsszám-változás, vegyérték)

Bármely egyszeresen pozitív töltésű ion egy mól mennyiségének a
kiválasztásához szükséges töltés, a Faraday-féle állandó
F = 9,648*10^4 C/mol


    MÁGNESES MEZŐ

    A vákuum permeabilitása
mű_0 = 2*pí*k
mű_0 = 4*pí*10^-7 V*s/(A*m)
k = 2*10^-7 N/A^2
k = 2*10^-7 V*s/(A*m)


    MÁGNESSÉGTANI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

    Áramerősség jele: I mértékegysége: A

Áramsűrűség jele: j mértékegysége: A/m^2
j = I/A

    Mágneses indukció jele: B mértékegysége: T (tesla)
(V*s/m^2; kg/(A*s^2))
B = M_max/(I*A)

Mágneses térerősség   jele: H mértékegysége: A/m
H = B/mű_0

    Mágneses indukció fluxusa jele: Fí_B mértékegysége: Wb (weber)
(V*s; kg*m^2/(A*s^2))
Fí_B = B*A

    Önindukciós együttható jele: L mértékegysége: H (henry)
(V*s/A; kg*m^2/(A^2*s^2)
L = delta Fí/delta I

Mágneses póluserősség jele: p mértékegysége: V*s (kg*m^2/(A*s^2))
p = r*gyök(4*pí*mű_0*F)

Mágneses dipólusnyomaték   jele: M mértékegysége:  V*s*m
(kg*m^3/(A*s^2))
M = p*l

    Poynting-vektor jele: Svek mértékegysége: V*A/m^2   (kg/s^3)
Svek = 1/mű_0*Evek × Bvek

    A földmágnesség adatai Budapesten 1986-ban
mágneses indukció  B = 4,7982*10^-5 T
deklináció 3 fok 50 perc (nyugati hosszúság)
inklináció 66 fok 15 perc


    MÁGNESES TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK

Pontszerű pólusok kölcsönhatása vákuumban (mágneses
Coulomb-törvény)
F = 1/(4*pí*mű_0)*p_1*p_2/r^2

Biot-Savart-törvény (ds elemi hosszúságú, I erősségű
árammal átjárt vezető által keltett mágneses indukció
a vezetőtől r távolságban)
dB = mű_0/(4*pí)*I*ds/r^2*sin(fí)
(fí az r távolság és a ds vezetőelem által bezárt szög)

Nagyon hosszú, egyenes vezető mágneses mezőjének
indukciója a vezetőtől r távolságban
B = mű_0/(2*pí)*I/r

R sugarú körvezető mágneses mezőjének indukciója a kör
középpontjában
B = mű_0/2*I/R

Ha a körvezető N menetes
B = mű_0/2*I*N/R

R sugarú körvezető mágneses mezőjének indukciója a kör középpontjától l
távolságban
B = mű_0/2*I*R^2/(l^2 + R^2)^(3/2)

Ha a körvezető N menetes
B = mű_0/2*I*R^2*N/(l^2 + R^2)^(3/2)

    N menetes l hosszúságú tekercs mágneses mezőjének
indukciója a tekercs belsejében
B = mű_0*I*N/l
(A tekercs végein az indukció értéke kb. az itt
megadottnak a fele.)

N menetű toroidtekercs mágneses mezőjének indukciója a
tekercs belsejében
B = mű_0*I*N/(2*pí*R)
(R a toroid középvonalának a sugara)

Körpályán v sebességgel haladó Q töltés keltette
mágneses indukció a kör középpontjában
B = mű_0/(4*pí)*Q*v/R^2
(R a kör sugara)

    I áramot vivő, l hosszúságú egyenes vezetőre ható
Lorentz-erő homogén mágneses mezőben
Fvek = I*lvek × Bvek
F = I*l*B*sin(fí)
(fí a vezetőelem és a B irány által bezárt szög)

Inhomogén mezőben, vagy ha a vezeték görbe, az I
áramot vivő vezetékre ható Lorentz-erő
Fvek = I*sum(delta lvek) × Bvek
F = I*sum(delta l)*B*sin(fí)
(fí a vezetőelem és a B irány által bezárt szög)

    v sebességgel haladó Q ponttöltésre ható
Lorentz-erő homogén mágneses mezőben
Fvek = Q*vvek × Bvek
F = Q*v*B*sin(fí)
(fí a v és B iránya által bezárt szög)

Ha vvek merőleges Bvek, akkor a pálya kör, melynek sugara R
R = m*v/(Q*B)

Ha v és B fí szöget zárnak be, akkor a pálya
csavarvonal, melynek sugara R, és menetmagassága h.
R = m*v*sin(fí)/(Q*B) h = m*v*cos(fí)/(Q*B)
(m a részecske tömege)

v sebességgel haladó Q ponttöltésre ható Lorentz-erő,
ha elektromos és mágneses mező egyszerre van jelen
Fvek = Q*(Evek + vvek × Bvek)
F = Q*(E + v*B*sin(fí))
(fí a v és B iránya által bezárt szög)

I áramot vivő, A területű körvezetőre ható nyomaték
Mvek = I*Avek × Bvek
M = I*A*B*sin(fí)
(fí az A és B iránya által bezárt szög)

I áramot vivő, N menetes, A keresztmetszetű tekercsre
ható nyomaték
Mvek = N*I*Avek × Bvek
M = N*I*A*B*sin(fí)
(fí az A és B iránya által bezárt szög)

Két párhuzamos áramvezető között fellépő erő, ha az
egyik vezető nagyon hosszú, a másik l hosszúságú,
távolságuk d
F = mű_0/(2*pí)*I_1*I_2/d*l

Elektromágnes emelőereje
F = B^2*A/(2*mű_0)

    Mágneses mező energiája
W = 1/2*B^2/mű_0*V

    Mágneses mező energiasűrűsége
w = 1/2*B^2/mű_0

    Elektromágneses mező teljes energiája
W = 1/2*(epszilon_0*E^2 + B^2/mű_0)*V

    Elektromágneses mező teljes energiasűrűsége
w = 1/2*(epszilon_0*E^2 + B^2/mű_0)

    Poynting-vektor
Svek = 1/mű_0*Evek × Bvek
S = 1/mű_0*E*B*sin(fí)
(fí az E és B vektorork által bezárt szög)


    MAXWELL-TÖRVÉNYEK

1. Elektromos mező V térfogatának forráserőssége (a
térfogatot elhagyó összes térerősség-vonalak száma)
N_E = 1/epszilon_0*sum(Q)
a felületen mért térerősséggel kifejezve
N_E = sum(E_n*delta A)

2. Nyugvó töltések elektromos mezőjének örvényerőssége
bármely zárt görbére
Ö_E = sum(Evek*delta svek) = 0
Időben változó mágneses fluxust körülölelő bármely
zárt görbére az elektromos mező örvényerőssége
Ö_E = - delta Fí/delta t

3. Mágneses mező forráserőssége (valamely zárt
felületbe belépő és onnan kilépő B vonalak összege)
N_B = sum(B_n*delta A) = 0

4. Áramot körülölelő bármely zárt görbe mentén a
mágneses mező örvényerőssége
Ö_B = sum(Bvek*delta svek)
a körülölelt árammal kifejezve
Ö_B = mű_0*sum(I)

Ha a zárt görbe áramvezetőt és változó elektromos
fluxust is körülvesz, az örvényerősség
Ö_B = sum(Bvek*delta svek)
Ö_B = mű_0*(I + epszilon_0*delta Pszí/delta t)
(epszilon_0*delta Pszí/delta t és delta
Pszí/(4*pí*delta t) az "eltolási áram")


    ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ

B indukciójú homogén mágneses mezőben v sebességgel
mozgó, l hosszúságú vezetőben indukált feszültség, ha
l merőleges B
U = B*l*v*sin(fí)
(fí a v és B iránya által bezárt szög)

B indukciójú homogén mágneses mezőben, v sebességgel
körpályán mozgó, l hosszúságú vezetőben indukált
feszültség, ha l merőleges B
U = B*l*v_0*sin(omega*t)
U = U_max*sin(omega*t)

    Változó mágneses fluxust körülölelő vezetőben indukált
feszültség (nyugalmi indukció)
U_i = - delta Fí/delta t

    Ha a körvezető N menetes
U_i = - N*delta Fí/delta t

    Önindukciós feszültség
U_L = - L*delta I/delta t

l hosszúságú, A keresztmetszetű, N menetes, mű_r
relatív permeabilitású vasmagos tekercs önindukciós
tényezője
L = mű_0*mű_r*N^2*A/l

Az önindukciós együttható és a tekercsfluxus (N*Fí)
közti összefüggés
N*Fí = L*I

Két egyenlő hosszúságú egymásra csévélt, A
keresztmetszetű, N_1 és N_2 menetszámú, mű_r relatív
permeabilitású vasmagos tekercs kölcsönös indukciós
együtthatója
L_12 = mű_0*mű_r*N_1*N_2*A/l

    Légmagos tekercs mágneses mezőjének energiája
W_m = 1/2*L*I^2

L induktivitású, R ohmikus ellenállású tekercsben az
áram időfüggése bekapcsoláskor, ha t = 0-nál I = 0
I_be = U_max/R*(1 - e^(- R/L*t))
Kikapcsoláskor, ha t = 0-nál I = U_max/R
I_ki = U_max/R*e^(- R/L*t)

L induktivitású, R ohmikus ellenállású tekercs
önindukciós feszültségének időfüggése (U a maximális
feszültség)
U_be = - U*e^(- R/L*t)
U_ki = U*e^(- R/L*t)

Sorosan kapcsolt tekercsek eredő induktivitása, ha
kölcsönös indukció = 0
L = L_1 + L_2 + ... + L_n

Párhuzamosan kapcsolt tekercsek eredő induktivitása,
ha a kölcsönös indukció = 0
1/L = 1/L_1 + 1/L_2 + ... + 1/L_n


    VÁLTAKOZÓ ÁRAM

Generátorban indukált, váltakozó áram feszültségének
és áramerősségének pillanatnyi értékei
U = U_max*sin(omega*t)
I = I_max*sin(omega*t)

    Effektív értékek
U_eff = U_max/gyök(2)
I_eff = I_max/gyök(2)

Középértékek
U_közép = 2/pí*U_max
I_közép = 2/pí*I_max

    Induktív ellenállás
X_L = omega*L
X_L = 2*pí*f*L

    Kapacitív ellenállás
X_C = 1/(omega*C)
X_C = 1/(2*pí*f*C)

    Eredő ellenállás (impedancia), ohmos, induktív és
kapacitív ellenállások soros kapcsolása esetén (soros
RLC kör)
Z = gyök(R^2 + (X_L - X_C)^2)

A feszültségek csúcsértékeinek a kapcsolata
U_hálózati = gyök(U_R^2 + (U_L - U_C)^2)
U_R : U_L : U_C = R : X_L : X_C
I_R = I_L = I_C

    A fáziseltolódás szögének koszinusza
cos(fí) = R/Z

    Thomson-képlet
Feszültségi rezonancia van, ha
X_L = X_C
ekkor Z = R
omega*L = 1/(omega*C)
T = 2*pí*gyök(L*C)
f = 1/(2*pí)*1/gyök(L*C)

Eredő ellenállás (impedancia) ohmos, induktív és
kapacitív ellenállások párhuzamos kapcsolása esetén
(párhuzamos RLC kör)
1/Z = gyök(1/R^2 + 1/(X_L - X_C)^2)

Az áramerősségek csúcsértékeinek kapcsolata
I_hálózati = gyök(I_R^2 + (I_L - I_C)^2)
I_R : I_L : I_C = (1/R) : (1/X_L) : (1/X_C)
U_R = U_L = U_C

A fáziseltolódás szögének a koszinusza
cos(fí) = Z/R

    Áramrezonancia van, ha
X_L = X_C
ekkor Z = R
omega*L = 1/(omega*C)
T = 2*pí*gyök(L*C)
f = 1/(2*pí)*1/gyök(L*C)   Thomson-képlet
(Leválasztva a kondenzátorból és tekercsből álló zárt
kört a feszültségforrásról, a Thomson-képlet alapján
kialakul a rezgés a saját frekvencián)

    Egyfázisú váltakozó áram teljesítménye
Pillanatnyi teljesítmény
P = U*I
P = U_max*I_max*sin(omega*t)*sin(omega*t + fí)

Látszólagos teljesítmény
P_l = U_eff*I_eff
P_l = gyök(P_h^2 + P_m^2)

    Hatásos teljesítmény
P_h = U_eff*I_eff*cos(fí)
P_h = I_eff^2*R*cos(fí)
P_h = gyök(P_l^2 - P_m^2)

Meddő teljesítmény
P_m = U_eff*I_eff*sin(fí)
P_m = gyök(P_l^2 - P_h^2)

    A teljesítménytényező
cos(fí) = P_h/P_l
(fí az U és I közötti fázisszög)

Háromfázisú hálózat teljesítménye
(Szimmetrikus háromfázisú rendszerben mindhárom fázis
teljesítménye azonos, így a teljes hatásos
teljesítmény az egy fázis hatásos teljesítményének
háromszorosa.)
P_h = 3*U_f*I_f*cos(fí)
(U_f a fázisfeszültség, I_f a fázisáram effektív értékei.)

A vonalfeszültségekkel kifejezve
Hatásos teljesítmény
P_h = gyök(3)*U_v*I_v*cos(fí)
Látszólagos teljesítmény
P_l = gyök(3)*U_v*I_v
Meddő teljesítmény
P_m = gyök(3)*U_v*I_v*sin(fí)


VILLAMOS GÉPEK

    A terheletlen transzformátor áttétele
U_pr/U_sz = N_pr/N_sz = I_sz/I_pr

    A transzformátor teljesítménye (a veszteségek elhanyagolásával)
U_pr*I_pr = U_sz*I_sz

A terhelt transzformátor veszteségei

    Rézveszteség (a tekercsek ohmikus ellenállásán
fejlődött Joule-hő)
P_réz = I_pr^2*R_pr + I_sz^2*R_sz

    Vasveszteség (a vasmag állandó átmágnesezésére és
az örvényáramok létrehozására fordított energia)
P_vas = éta*B^(1,6)*f*V/10^7
(V a vasmag térfogata)
P_réz + P_vas = 2% ... 8%

A terhelt transzformátor szekunder tekercsének
kapocsfeszültsége
I_sz*R_fogyasztó = U_sz - I_sz*R_tekercs

Főáramkörű dinamó kapocsfeszültsége
U_k = I*R_k
U_k = U_i - I*(R_A + R_M)
(U_i az indukált feszültség, R_k a külső ellenállás,
R_A az armatúra, R_M a gerjesztőtekercs ellenállása)

Mellékáramkörű dinamó kapocsfeszültsége
U_k = I*R_k
U_k = I_M*R_M
U_k = U_i - I_A*R_A
I_A = I_M + I
(I_A az armatúra, I_M a gerjesztőtekercs, I a terhelő
áram áramerőssége, R_M a gerjesztőtekercs ellenállása,
R_k a külső ellenállás)

Egyenáramú motor áramfelvétele
I = (U - U_i)/R_a
(U a motorra kapcsolt feszültség, U_i az indukált
ellenfeszültség, R_a az armatúra ellenállása)

Egyenáramú motor által felvett teljesítmény
P = U*I
P = U_k*I + I^2*R
(U_k*I a motor által végzett munka, I^2*R a fejlődött
Joule-hő)

Egyenáramú motor fordulatszáma
n = a*(U - I_A*R_A)/(p*z*Fí)
(a  a forgórész horonypárjainak száma, U a rákapcsolt
feszültség, I_A az armatúra áramerőssége, R_A az
ellenállása, p a póluspárok száma, z a hatásos vezetők
száma, Fí a mágneses fluxus)

Egyenáramú motorok nyomatéka
Főáramkörű motoré
M ~ I^2
Mellékáramkörű motoré
M ~ I

Egyenáramú motor hatásfoka
éta = U_indukált/U_rákapcsolt

Váltakozó áramú motorok fordulatszáma

Szinkron motor fordulatszáma
n_sz = f/(2*p)
(f a hálózati frekvencia, p a póluspárok száma)

Aszinkron motor fordulatszáma
n_a = n_sz - s
(s az eltérés az n_sz-től: a slip.)
s = (n_sz - n_a)/n_sz


    ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK. A FÉNY


HULLÁMTANI, FÉNYTANI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

Az elektromágneses mező lendülete jele: G
mértékegysége: kg*m/s

Elektromágneses mező lendületsűrűsége   jele:g
mértékegysége: kg/(s*m^2)

Hullámhossz jele: lambda mértékegysége: m

Hullámszám jele: szigma mértékegysége: 1/m
szigma = 1/lambda

Abszolút törésmutató   jele: n mértékegysége: -
n = c_0/c

    Fókusztávolság   jele: f   mértékegysége: m

    Dioptria jele: D mértékegysége: 1/m    D = 1/f

Frekvencia jele: f; nű mértékegysége: Hz  (1/s)
f = 1/T

Fényerősség jele: I_v   mértékegysége: cd (candela)

Fényáram jele: Fí_v mértékegysége: lm (lumen)
Fí_v = I_v*Omega

Megvilágítás jele: E_v mértékegysége: lx (lux)
E_v = delta Fí_v/delta A

A fény energiája jele: Q_v mértékegysége: lm*s
Q_v = sum(Fí_v*delta t)


    AZ ELEKTROMÁGNESES HULLLÁMOK TERJEDÉSE

    Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége vákuumban
c_0 = 1/gyök(epszilon_0*mű_0)
c_0 = 2,998*10^8 m/s =~ 3*10^8 m/s

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége
valamely közegben
c = c_0/n
(n a közeg abszolút törésmutatója)

Az elektromos térerősség és a mágneses indukció értéke
a távolság függvényében
E(x) = E_xmax*sin(omeg*(t - x/c))
E(x) = E_xmax*sin(2*pí*(t/T - x/lambda))
B(x) = B_xmax*sin(omeg*(t - x/c))
B(x) = B_xmax*sin(2*pí*(t/T - x/lambda))
(Az E_xmax és a B_xmax az x távolságbeli maximális
értékek)

Az elektromágneses mező energiasűrűsége
w_EB = 1/2*epszilon_0*E^2 + 1/2*1/mű_0*B^2
|1/2*epszilon_0*E^2| = |1/2*1/mű_0*B^2|

Nagyon kicsi térrész energiája
W_EB = w_EB*delta V

    Poynting-vektor (energiaáram-sűrűség vagy teljesítménysűrűség)
Svek = 1/mű_0*Evek × Bvek
(Evek merőleges Bvek)

A szinuszosan változó elektromágneses hullám
pillanatnyi teljesítménysűrűsége
S = 1/mű_0*E_max*B_max*sin^2(omega*t)

A szinuszosan változó elektromágneses hullám átlagos
teljesítménysűrűsége
S_átlag = 1/2*S_max
S_átlag = 1/(2*mű_0)*E_max*B_max

    A fény elnyelődése során fellépő fénynyomás
p = gyök(epszilon_0/mű_0)*E*B

    A Napból a Földre érkező átlagos fénynyomás értéke 10^-5 Pa

Az elektromágneses mező lendületsűrűsége
gvek = epszilon_0*Evek × Bvek

A delta V térfogat teljes lendülete, ha a delta V-ben
a mező homogénnek tekinthető
Gvek = gvek*delta v
Gvek = (epszilon_0*Evek × Bvek)*delta V

A Napból a Földre érkező fénysugár másodpercenként 1,27*10^9 kg*m/s
lendületet szállít.

    A légkör határához a Napból 1,374 kW/m^2 teljesítmény érkezik.

    A Föld felszínére ebből már csak kb. 120 W/m^2
érkezik a reflexió és a légköri elnyelés miatt
(Közép-Európára számolva).

Az elektromágneses mező delta V térfogatának
tömegértéke
m = epszilon_0/c*E*B*delta V

A Nap másodpercenként 4,4*10^9 kg tömeget veszít
egyenletes sugárzással.


    GEOMETRIAI OPTIKA

    A fényvisszaverődés törvényei
alfa = béta
alfa és béta egy síkban vannak
(alfa a beesési, béta a visszaverődési szög)

    Kis nyílású gömbtükrök fókusztávolsága
f = r/2

    A leképezési (távolsági) törvény
1/f = 1/k + 1/t

    A nagyítás
N = K/T
N = k/t
N = f/(t - f)
N = (k - f)/f

    A fénytörés törvényei
sin(alfa)/sin(béta) = c_1/c_2 = lambda_1/lambda_2 = n_21
alfa és béta egy síkban vannak

    A teljes visszaverődés határszöge
sin(alfa_h) = 1/n
alfa_h = arc sin (1/n)

Fénytörés plánparalel lemezen, az eltolódás mértéke
d = D*sin(alfa - gamma)/cos(gamma)
d = D*sin(alfa)*(1 - cos(alfa)/gyök(n^2 - sin^2(alfa)))
(D a lemez vastagsága, alfa a beesési szög, gamma a
törési szög, n a  lemez törésmutatója)

Fénytörés prizmán (a prizma anyagának törésmutatója)
n = sin((fí + théta_min)/2)/sin(fí/2)
(fí a prizma törőszöge, théta az eltérítés szöge,
théta akkor a legkisebb, ha a belépő és a kilépő
fénysugár fí szögfelezőjére szimmetrikus)

Fénytörés gömbfelületen
n/f = (n_1 - n)/r
n_1/f_1 = (n_1 - n)/r
n/t + n_1/k = 1/r*(n_1 - n)
(r a gömbfelület sugara, f a fókusztávolság az  n
törésmutatójú, f_1 az n_1 törésmutatójú közegben.)

    Vékony lencsék törvényei
1/f = (n - 1)*(1/R_1 + 1/R_2)
(n a lencse  anyagának a környezetére vonatkozó
relatív törésmutatója, R_1 és R_2 a görbületi sugarak.
Domború felületek görbületi sugara pozitív, homorú
felületeké negatív) 1/f =1/k + 1/t

    A nagyítás
N = K/T
N = k/t
N = f/(t - f)
N = (k - f)/f
(Látszólagos kép képtávolsága negatív, látszólagos tárgy tárgytávolsága
negatív)

    Lencserendszerek fókusztávolsága (ha a lencsék egymás mellett vannak)
1/f = 1/f_1 + 1/f_2 + ... + 1/f_n

    Dioptria
D = 1/f   (a fókusztávolság méterben!)

Egyszerű nagyító szögnagyítása (ha a szem nagyon közel van a lencséhez)
N_sz = - (1 + d/f)
(d a tisztánlátás távolsága)

Mikroszkóp szögnagyítása
N_sz = d*l/(f_1*f_2)
(d a tisztánlátás távolsága, l az optikai tubushossz, l =~ k_1 - f_1.)

Távcsövek szögnagyítása
N_sz = f_1/f_2


    HULLÁMOPTIKA

    Fényelhajlás és interferencia egy rés esetén
az erősítés irányai sin(alfa_k) = (2*k - 1)/a*lambda/2
a kioltás irányai sin(alfa_k) = 2*k/a*lambda/2
(k = 1, 2, 3, ... ; a a rés szélessége)
Ha l az első világos csík távolsága a középső világos
csíktól, és D a rés és az ernyő távolsága, akkor
sin(alfa_1) =~ l/D
lambda = 2*a*l/(3*D)

Fényelhajlás és interferencia két rés esetén
az erősítés irányai sin(alfa_k) = 2*k/b*lambda/2
a kioltás irányai sin(alfa_k) = (2*k - 1)/b*lambda/2
(k = 1, 2, 3, ... ;  b a két rés egymástól való
távolsága)

    Fényelhajlás és interferencia rácson
az erősítés irányai sin(alfa_k) = 2*k/d*lambda/2
(k = 1, 2, 3, ... ; d a rácsállandó)
Ha l az első csík távolsága a középső világos csíktól,
és D a rács és az ernyő távolsága, akkor
sin(alfa_1) =~ l/D
lambda = d*l/D

Brewster-törvény a polarizációs szög meghatározására
tg(alfa_p) = n
(n az anyagnak a környezetére vonatkozó relatív törésmutatója)


    VILÁGÍTÁSTECHNIKAI ALAPFOGALMAK

A megvilágítás erőssége, ha a megvilágított felület a
ráeső fénysugarak irányával alfa szöget zár be
E_v = Fí_v/A*sin(alfa)
(Fí_v a fényáram, A a felület nagysága)

Pontszerű fényforrás esetén a fénysugarak irányára
merőlegesen elhelyezett felületek megvilágításának
aránya
E_v1/E_v2 = r_2^2/r_1^2
(r_1 és r_2 a felületek távolsága a fényforrástól)

Fényforrások fényerősségének összehasonlítása (ha a
két fényforrás merőleges megvilágítás esetén egyenlő
megvilágítást ad)
I_v1/I_v2 = r_1^2/r_2^2
(r_1 és r_2 a felületek távolsága a fényforrásoktól)

Felületi világosság (stilb)
Két egyenlő fényerősségű fényforrás közül azt ítéljük
fényesebbnek, melynek kisebb a felülete
1 stilb = 1 cd/(1 cm^2) = lm/(Omega*cm^2)
(A stilb a nem világító testek felületi világosságának
megítélésére is alkalmas)


    ATOM- ÉS MAGFIZIKA

ATOM- ÉS MAGFIZIKAI FOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK

    Tömegszám (nukleonszám)   jele: A mértékegysége: -
    A = Z + N

    Rendszám (protonszám) jele: Z mértékegysége: -

    Neutronszám jele: N mértékegysége: -

    Atomi tömegegység jele: m_u mértékegysége: kg
m_u = 1,661*10^-27 kg

Egy m_u-nak megfelelő energia jele: E mértékegysége: J
E = 1,492*10^-10 J

    Az elemi töltés jele: e mértékegysége: C
e = Faraday-állandó/N_A
e = 1,602*10^-19 C

    Planck-állandó jele: h mértékegysége: J*s
h = 6,626*10^-34 J*s

A mágneses momentum egységei

Bohr-magneton   jele: mű_B mértékegysége: J/T
mű_B = e/(2*m_e)*h/(2*pí)
mű_B = 9,274*10^-24 J/T

Magmagneton jele: mű_m mértékegysége: J/T
mű_m = e/(2*m_p)*h/(2*pí)
mű_m = 5,051*10^-27 J/T

    Az elektron adatai
nyugalmi tömege m_e = 9,110*10^-31 kg
töltése e^- = -1,602*10^-19 C
fajlagos töltése   e/m_e = 1,759*10^11 C/kg
mágneses momentuma 1 Bohr-magneton
spinje 1/2
nyugalmi tömegének megfelelő energia
m_e*c^2 = 0,5 MeV = 8,011*10^-14 J

    A proton adatai
nyugalmi tömege m_p = 1,673*10^-27 kg
töltése e = 1,602*10^-19 C
fajlagos töltése   e/m_p = 9,580*10^7 C/kg
mágneses momentuma    mű_p = 2,793*mű_m = 1,411*10^-26 J/T
spinje 1/2

    A neutron adatai
nyugalmi tömege m_n = 1,675*10^-27 kg
mágneses momentuma mű_n = -1,913*mű_m = -9,663*10^-27 J/T
spinje 1/2

    A deuteron adatai
nyugalmi tömege m_D = 3,344*10^-27 kg
mágneses momentuma mű_D = 0,857*mű_m = 4,329*10^-27 J/T
spinje 1

    Az alfa-részecske adatai
nyugalmi tömege m_alfa = 6,645*10^-27 kg
fajlagos töltése   2*e/m_alfa = 4,820*10^7 C/kg
spinje 1

    A hidrogénatom nyugalmi tömege   m_H = 1,673*10^-27 kg

    Kvantumszámok (meghatározzák az atomban kötött
elektronok állapotát)
Főkvantumszám n = 1, 2, 3, ...
Mellékkvantumszám l = 0, 1, 2, ..., n - 1
(a mellékkvantumszámok helyett szokás betűjeleket is használni,
például 0, 1, 2, 3 helyett s, p, d, f)
Mágneses kvantumszám m = - l, - l + 1, ..., l - 1, l
Spin s = 1/2, 1 vagy 0
(Az atommagok spinje 1/2, ha a tömegszám páratlan; 1,
ha a tömegszám páros; és 0, ha a protonok és a
neutronok száma is páros)

A párkeltés energiamérlege
h*nű = m_e*c^2 + m_p*c^2 + 1/2*m_e*v_e^2 + 1/2*m_p*v_p^2
(m_e az elektron, m_p a pozitron tömege; v_e az
elektron, v_p a pozitron sebessége; c a fénysebesség.
A szükséges minimális frekvencia nű = 2,459*10^20 1/s.)

    Heisenberg-törvény (bizonytalansági reláció)
delta x*delta p_x >= h/2
delta y*delta p_y >= h/2
delta z*delta p_z >= h/2


    ELEKTRONOK

    Az elektron sebessége, ha U gyorsító-feszültségen halad át
v = gyök(2*e*U/m)

    A h*nű energiájú foton hatására a fémből kilépő elektron energiája
1/2*m*v^2 = h*nű - W
a fotocellán mért feszültséggel kifejezve
e*U = h*nű - W
(W a kilépési munka)

Az elektron sebességváltozása, ha U_1 potenciáltérből
U_2 potenciáltérbe lép át
v_2/v_1 = sin(alfa_1)/sin(alfa_2) = gyök(U_2/U_1)
(alfa_1 a beesési-, alfa_2 a törésszög. Ha az elektron
pozitívabb térrészbe lép át, a sebessége megnő, és a
beesési merőlegeshez hajlik.)

    A v sebességgel haladó elektronhoz rendelhető hullámhossz
    (de Broglie-hullám)
lambda = h/(m_e*v)
lambda = h/p

Az elektron (mikrorészecske) állapotát teljesen leíró függvény, a
    hullámfüggvény: Pszí

Szuperpozíció elve: Ha az elektron (mikrorészecske)
megvalósulhat Pszí_1 és Pszí_2 állapotfüggvénnyel,
akkor megvalósulhat a Pszí_1 + Pszí_2 = Pszí
állapotfüggvénnyel is.

Az elektron (mikrorészecske) jelenlétének
valószínűségét helyről helyre az elektront modellező
hullám négyzete határozza meg.
ró = |Pszí|^2
ró = |Pszí_1 + Pszí_2|^2


    KÜLÖNBÖZŐ DOBOZOKBA ZÁRT ELEKTRONOK

Az állóhullám hullámhossza, ha az elektron egy a
egyenes szakaszon szabadon mozoghat
lambda_k = 2*a/(k + 1)
(k a belső csomók száma)
Ekkor az elektron mozgási energiája
E = h^2*m/2*((k + 1)/(2*a*m))^2
E = h^2/(8*m*a^2)*(k + 1)^2

Az állóhullámok hullámhossza, ha az elektron egy a*b
oldalú téglalap területén szabadon mozoghat
lambda_a = 2*a/(k_a + 1)
lambda_b = 2*b/(k_b + 1)
(k_a az a oldalra, k_b a b oldalra merőleges csomóvonalak száma)
Ekkor az elektron mozgási energiája
E = h^2/(2*m)*((k_a + 1)^2/(4*a^2) + (k_b + 1)^2/(4*b^2))

Az állóhullámok hullámhossza, ha az elektron egy a*b*c
oldalélű téglatest alakú dobozban szabadon mozoghat
lambda_a = 2*a/(k_a + 1)
lambda_b = 2*b/(k_b + 1)
lambda_c = 2*c/(k_c+ 1)
(k_a az a oldalra, k_b a b oldalra, k_c a c oldalra
merőleges csomóvonalak száma)
Ekkor az elektron mozgási energiája
E = h^2/(2*m)*((k_a + 1)^2/(4*a^2) + (k_b + 1)^2/(4*b^2) +
(k_c + 1)^2/(4*c^2))


    STATISZTIKUS FIZIKA

Valamely anyaghalmaz makroállapotát megvalósító
mikroállapotok száma: Y

Összetett és egymástól független rendszerek
mikroállapotainak száma: Y_AB = Y_A*Y_B

N részecskét tartalmazó V térfogatú gáz
mikroeloszlásainak száma:
Y_VE =~ V^N*E^(N - 1)  
(E a gáz összes energiája)

Ha N részecskét tartalmazó V térfogatú gáz V + delta V
térfogatra tágul, a mikroeloszlások száma (1 + delta
V/ V)^N - szeresére nő,
Y_(V + delta V) = Y_V*(1 + delta V/V)^N
Y_(V + delta V) = V^N*(1 + delta V/V)^N
(Valamely halmaz akkor van egyensúlyban, ha a
mikroeloszlások száma a lehető legtöbb.)

    N atomos r energiaadagos kristály mikroeloszlásainak száma:
Y_r = (N + r - 1)!/(r!*(N - 1)! )

Ha N atomos r energiaadagos kristály q << r energiát vesz fel, a
mikroeloszlások száma ((N + r)/r)^q - szorosára nő,
Y_(r + q) = Y_r*((N + r)/r)^q
Y_(r + q) = (N + r - 1)!/(r!*(N - 1) !)*((N + r)/r)^q
(Az N atomos r energiaadagos Einstein-kristály minden
atomjának három elemi rezgése osztozik az
energiaadagokon. Ha a kristály egy újabb energiaadagot
kap, (3*N + r)/(r + 1) - szeresére nő a
mikroeloszlások száma.)

Ha valamely anyaghalmaz Q hőt vesz fel T hőmérsékleten,
a mikroeloszlások száma e^(Q/(k*T)) - szeresére nő.
Y_később = Y_előbb*e^(Q/(k*T))
delta (ln (Y)) = Q/(k*T)

    A hőmérséklet statisztikus fizikai definíciója:
T = Q/(k*delta (ln(Y))

    Az entrópia statisztikus fizikai definíciója
S = k*ln(Y)

Az entrópia megváltozása
delta S = S_később - S_előbb = k*ln(Y_később/Y_előbb)

    Zárt halmaz entrópiája addig növekszik, míg el
nem éri a maximumát, vagyis az entrópia egyenletes
eloszlásnál, azaz statisztikus egyensúlynál a
legnagyobb.
delta S_zárt >= 0 (2. főtétel)
Reverzibilis folyamatokban az = jel, természetes
(irreverzibilis) folyamatokban a > jel érvényes.

Nyílt halmaz entrópiájának növekedése, ha a
környezettől Q hőt vesz fel
delta S_nyílt = Q/T + delta S_belső = delta S_K + delta S_B
(Nyílt halmaz entrópiája két úton változhat meg: a
környezettel való kölcsönhatás és a rendszerben
végbemenőő változások útján.)

    Az entrópia nullaszintje: kémiailag homogén
szilárd vagy folyékony anyag entrópiája az abszolút
nullaponton = 0. (3. főtétel)
S_0 = 0  (Planck)



Vissza a kezdethez